Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
rotsgrad9=^@)_|(g)=0
Tot^rad9= = O
rot. grad9 =^-^ = 0
Обратно, если rot а равен 0, то по формуле (20) линейный интеграл по всякому контуру, могущему быть стянутым в точку, равен нулю, так как между таким контуром можно провести поверхность S. А значит a = grad ф. Итак, если
даг day_~ дах даj_„ day_дах _q ,пол
dy dt *U' дг дх —дх ду~
ТО
или, что то же,
axdx + ajiy 4- azdz = dtp (24)
т. e. a^dx + (iydy 4- ajdz является полным дифференциалом. Итак, необходимое и достаточное условие того, чтобы а был потенциальным вектором и чтобы axdx + a^/dy + azdz было полним дифференциалом, состоит в выполнении условий. (22), т. е. в равенстве вихря вектора а нулю. Потенциальные поля называют поэтому также безвихревыми.
Очевидно далее, что если S означает замкнутую поверхность, то
>rot.a«!S-0 (25)
s
ибо в этом случае контур С стягивается в точку. 172
векторный анализ
Гл. Il
Но вспоминая определение расхождения, из формулы (25) сразу заключаем, что
div rot а = 0 (26)
т. е. век торное поле вихрей любого вектора а свободно от источников. Соотношение (26) можно проверить и непосредственным вычислением-В силу отсутствия источников в поле вихря, вихревые линии не могут внутри жидкости ни начинаться, ни кончаться; онп могут быть замкнутыми или могут иметь свои концы иа границе поля.
Рассмотрим вихревую трубку, полученную следующим образом: берем площадку и проводим через контур ее вихревые линии, тогда поток вектора rot а через всякое сечение этой трубки будет постоянной величиной, в силу общей теоремы, доказанной нами в п. 7 § 14. Величина этого потока называется напряжением вихревой трубки.
•Докажем теперь обратную теорему: всякий соленоидалъный вектор а может быть представлен как вихрь некоторого другого вектора Ь. Иными словами, если
div а = 0 (27)
то можно найти такой вектор Ь, что
а = rot Ь (28)
Для доказательства выберем какую-либо прямоугольную систему координат и положим Ьг = 0, тогда равенство (28) приведется к трем уравнениям с двумя неизвестными функциями Ъх (х, у, z) и bv (х, у, z)
S4&-«. <29>
Общим решением первых двух из этих уравнений являются
Z
by (X, у, z) — — ^ ах (X, у, z) dz + і (х, у)
Zt
X
ьх (X, у, z) = J Oy (х, у, z)dz + g (X, у)
Zm
где / (ж, у) и g (х, у) — цока произвольные функции своих аргументов. Подставляя зта выражения в последнее уравнение системы (29), получим
- І St* + 2 ¦- \ т?* - % = * <«. *
г. г.
Но так как
ГО
Z Z
= S У' ^ - а'(х> г«> § 16
ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА ВДОЛЬ КОНТУРА
173
и,, следовательно, уравнение (30) приводится к виду
df dg . . Зіго)
Мы удовлетворим этому уравнению, полагая
X
/ = ^ аг (х, у, za)dx, g = О
Итак, если взять:
Z
Ьх (X, у, 2) = ^ Ou (ж, у, z) dz
Z X
bV (z. У> z) = — ^ a* (? af. z) -f ^ а2 (ж, у, z0) da; (31)
г. *»
Az (ж, у, 2) = О
то равенство (28) будет иметь место, что и требовалось доказать.
Наконец, заметим, что, применяя обобщенную формулу Гаусса — Ост-роградского [§ 15 (19)] к выражению
V X a = rot а
мы получаем преобразование поверхностного интеграла в объемный:
фп Xa (AS = ^rotadF (32)
S V
Задача 118. Доказать, что
rot (at + а2) = rot a, + rot а2 (33)
Задача 119. Вычислить rot (фа).
rot /fr51 ^ д (<р"2) д ttffl^ - m (да* 9M і д<* а _?*/>-Г01ж(фа) - -щ- Wz---?;+ Эуаг - -jz<h,~
= Ф TOtxB + (grad (PXa)1
Отсюда
rot (фа) = ф rot а 4- grad ф х а (34)
Задача 120. Вычислить rot {/ (г) г)}. Так как
$(/ (r)r.dr)=J/(r)rdr=0
с с
по всякому замкнутому контуру, то
rot / (r)r = О Это можно легко показать и вычислением. 174
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
Задача 121. Вычислить rot {Ъ (г.а)}, где а и b — постоянные векторы.
rot {Ь (г-а)) = grad (r-a)xb = ах b (35)
Задача 122. Вычислить rot га, где а — постоянный вектор
rot (га) = grad rxa = ха = —^
Задача 123. Вычислить div {а (г) х Ь (г)}. Имеем
div (axb) = 3 ^ybz " a^ +• 3 ~ axbz) . д [ахЬу — Qyi3e) _ ^ ' дх dy dz
day L , - дЪг даг , дЬу даг , ЭЬХ
= SZb'+ aVST--2F b«-a'~d + +
За- , дЬ2 Se« , , дЬц дау, дЬх
_ , Ida1 дау\ , іSo1 Jte^ , /дОу BaxS.
— ~ді) ^0VV"aF Эх 0zKdX ду)
п;дъг SAuN /аьх аьг\ (аьу_аь?]_ ах\~ЩГ ~дГ) aVYm аЧdx ду) ~
= b-rot a — a.rot b
Таким образом
div (axb) = b-rot a — a.rot b (36)
Задача 124. Представить ax grad ф, где a — постоянный вектор, в виде вихря некоторого вектора. Ответ, ах grad ф = — rot (ф а).
Задача 125. Вектор г(шхг), где «> есть постоянный вектор, есть вектор соленоидальиый (см. задачу 114). Представить его в виде вихря некоторого вектора.
Ответ: г (юхг) = — rot(-i г8®)'.
§ 17. Некоторые формулы с дифференциальными операциями.
Дифференциальные операции второго порядка. Применения
t. Выведем ряд основных формул векторного анализа, причем будем широко пользоваться символическим методом. В § 12 [формула (19)1 и § 15 [формула (22)] нами были выведены следующие формулы (ф и я|> — скалярные функции, а — векторная):
grad (фф) = ф grad ф + ф grad ф (1)
