Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
— ^r — iffO , _ л , dj . cik , dx. . dy . , d», ... дифференцирование виктора
99
Если бы X, у, Z были постоянными, мы полутали бы скорость
v> dt ИГ У lit ' dt <5>
точки, неизменно связанной с подвижной системой координат, почему »та часть абсолютной скорости называется переносной скоростью движения точки и обозначается через vc. Б предыдущем параграфе мы нашли для нее следующее выражение:
v. = v0 + «вхг (6)
где V0 — абсолютная скорость начала О подвижной системы, ю — вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы координат. Выясним теперь значение трех последних членов формулы (4). Рассмотрим положение подвижной системы в момент L Отметим, кроме точки М, еще ту точку M', связанную с подвижной системой, в которой будет находиться точка M в момент t 4- Дt, тогда вектор MM' представит, очевидно, вектор относительного перемещения точки М, а
скорости тот как
MM' = Axi + Дг/j 4- Azk
то
Vr = ЖІ + УІ -I- zk (7)
Поэтому формула (4) приводит к теореме: вектор абсолютной скорости точки равен сумме векторов переносной и относительной скорости
Va = Ve 4- V, (8)
Если начало подвижной системы координат О совпадает с О, то
г = г, V0 = 0, Ve = W X г
и мы получаем формулу
V а = г = vr + ш X г (9)
Отсюда
V, = I-MXf (Ю)
2. Возьмем теперь любой вектор a (t). Отложим его от начала О подвижной системы координат, которое мы предположим совпадающим с О, и будем рассматривать конец вектора а как движущуюся точку. Тогда относительную скорость конца вектора а можно назвать относительной производной вектора а; обозначая ее в отличие от абсолютной
7'
будет, вектором относительной к и М. Мы будем его обозначать через Vu- Так 100
векторный анализ
Гл. Il
„ da d'a
производной -Jt через -JJ- найдем имеющую очень важное значение формулу
d'а da da d'a ,
_ = __мха или - = —+Мха (U)
Если проекции вектора а на подвижные орты і, j, к обозначить через ах, Oy, <z2, то относительная производная будет иметь компоненты йх, Ctv, аг, поэтому мы получаем следующую систему трех скалярных уравнений:
(?)*= А* + Шу<І! ~ Шга»
(д)у = "s + — to^a1 (12)
= <*, + <0*<Ч, — (OyUx
Выведем, наконец, формулу, дающую связь между абсолютным и относительным ускорением. Продифференцируем формулу (4)
dl ~ \dt3 ^ xdt» ^ ydt2 + z dtv +
„ fdx ей dydj сігсікЧ , (ЛЬ:. dhf . , ?(% . \ ..„ч
+ zKdldI +Ї7ЇЇ + TtdiJ+ KdP1 + Sf1J +dT'V (")
Если X, у, z постоянны, то их первые и вторые производные равны нулю. Поэтому первые четыре члена правой части дают ускорение точки, неизменно связанной с подвижной системой координат, поэтому эта часть абсолютного ускорения называется переносным ускорением и обозначается через we:
yd+ zSF (14>
Выражение для we дается формулой (1):
= wo +сохг + шх(юхг) (15)
Последние три члена формулы (13) представляют, очевидно, относительное ускорение точки Af1 которое обычно обозначается через wr:
Wr — xi + у] + гк (16)
Наконец, чтобы истолковать три средних члена формулы (13), вспомини, что имеем формулу
dx dy dz
значит, заменяя г на V1., вектор с компонентами ^ , , , получаем: 2(JS + |g+Jt)=2coxvr (17) функпия от векторного аргумента
101
это выражение называется ускорением К о р и о л и с а и обозначается через W0.
Таким образом получаем теорему; вектор абсолютного ускорения точки является суммой трех векторов: вектора переносного ускорения, вектора относительного ускорения а вектора ускорения Кориоласа:
wa = we + wr + Wc (18)
§ 11. Функции от векторного аргумента. Скалярное и векторное поле.
Поверхности уровня. Векторные линии
1. До сих пор мы рассматривали векторы или постоянные или изменяющиеся в зависимости от скалярного аргумента (времени). Теперь мы рассмотрим более сложный случай, когда с каждой точкой пространства (или части пространства) связывается значение некоторого скаляра или вектора. Рассматриваемая часть пространства называется тогда полем, скалярным или векторным, смотря по тому, какая функция, скалярная или векторная, изучается. Так, например, мы имеем в атмосфере скалярное поле давления, ибо каждой точке атмосферы отвечает некоторое значение давлепия. В реке мы имеем векторное поле скорости частиц воды и т. д.
Так как каждую точку поля можно определять ее радиусом-вектором, то задать скалярное или векторное поле значит привести в соответствие каждому радиусу-вектору г значение некоторой скалярной функции ф (г) или некоторой векторной функции а (г). Таким образом, в рассматриваемом случае независимой переменной является радиус-вектор г.
Аналитически задание скалярной функции q> (г) сводится к заданию функции <р (х, у, z), от трех координат точки, задание векторной функции а (г) равносильно заданию трех скалярных функций ах(х, у, г), Оу(х, у, г), аг (х, у, г), дающих компоненты вектора а.
Очень часто приходится рассматривать скалярные или векторные функции, изменяющиеся с течением времени: <р (г, t), а (г, t). Соответствующие поля называются тогда переменными или нестац и о-парными; поля же, не меняющиеся с течением времени, называются постоянными или стационарными.
