Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Е-** = 0 (106)
s
вытекающим из формулы (19) § 17.
10. Теперь мы можем полностью решить задачу об определении вектора по его вихрю и расхождению для случая конечной области. Пусть нам нужно найти вектор а для точек области V, ограниченной поверхностью S1^ если известно, что
div а = р (аг, у, г) внутри V
rot a = w (X, у, z) внутри V (107)
On = / (M) на поверхности S
где р, м и / — известные функции, причем функция f (M) удовлетворяет условию
^f(M) dS = J P (1, Т), С) dV (108)
S V
а функция ю — условию
div «а = 0 (109)
Далее мы считаем, как всегда, что функции р и » непрерывны вместе •с частными производными всюду кроме, быть может, конечного числа ¦поверхностей.
В случае, если т внутри объема V терпит иа некоторой поверхности разрыв, мы потребуем, чтобы нормальная составляющая вектора т оставалась непрерывной.
Мы найдем решение системы (107) в виде суммы трех векторов
а (/>) = grad <р + rot А + grad ф (110)
Прежде всего, полагая р = 0 вне объема V, составляем функцию
«(«.!Ь 4-е-?0" (111)
V
С векторным потенциалом А поетупить етоль же просто, т. е. ПОЛОЖИТЬ (D = O вне объема V и аатем применить формулы п. 7, мы не можем, так как, вообще говоря, на поверхности S нормальная составляющая вектора вихря <an =f= 0, и еели мы положим со = 0 вне объема V, то на поверхности S нормальная составляющая вектора «о будет терпеть разрыв, и раесуждения п. 7 перестанут быть верными. Поэтому мы должны поступить следующим образом: мы построим вектор ш вне объема У таким 238
векторный анализ
Fn. II
образом, чтобы на поверхности S величина соп не терпела раарыва, и чтобы на бесконечности удовлетворялись условия (63); и возьмем затем
А(X, у, 2) - ^ »«.»в* <112)
OO
Такой вектор ш можно получить, например, следующим образом: примем, что ш = grad % вие объема V, тогда на поверхности S должна быть
где справа стоит нормальная составляющая заданного внутри V вектора ш. Так как div «в = 0, то функция % должна удовлетворять уравнению
AX = O (И4>
Итак, нужно определить функцию %t гармоническую вне объема V и удовлетворяющую условию (113), т. е. нужно решить задачу Неймана.
Заметим, что в силу условия (109) и в силу теоремы Гаусса мы имеем равенство
§><Bn(?S = 0 (115>
S
В теории потенциала показывается, что гармоническая вне объема V функция X, удовлетворяющая на поверхности S, ограничивающей этот объем, условию (113), в котором функция <оп обладает свойством (115), будет удовлетворять следующему условию на бесконечности
I JPgrad X (?, Л. OKitf (116)
где M — конечная величина. Мы видим, что вектор ь> = grad х удовлетворяет вне объема V всем поставленным требованиям.
Вектор
Ь (P) = grad <р -f rot А обладает, очевидно, следующими свойствами
div Ь = р внутри V, rot Ь = W внутри V (117)
Остается выполнить последнее условие (107). Составим для этого
bn (M) = ^ + rotnA на поверхности S и положим затем
F (M) = j (M)- &n (M) иа поверхности S (118)
Определим теперь гармоническую внутри Объема V функцию ф
Дф = О" § 19 определение вектора по его вихрю и расхождению
239
для которой
Jj^ = F(M) аа поверхности S Заметим при этом, что условие (106) выполняется, ибо <jp/-(M) dS = ^f (M) dS— S b„ (M) dS =
S SS
= <§>/(A/)<?S — Sl^-dS- S = 0
S SS
так как в силу (108)
^/(M) dS = $р(5, Tb odF = J = ^jLdS
SV Vs
и кроме того тождественно
^ rotn A dS = О
S
Поэтому по формуле (105) определим гармоническую функцию ф-
* (/>) = Ш $ Н F (M) dS (119)?
s
Так как
div grad ф = О внутри V
rot grad ф = О внутри V (120у
= F (M) аа поверхвасти S
то из (117), (118) и (120) ясно, что функция (110) дает решение систем-»' (107). В силу теоремы единственности, другого решения поставленной' задачи, отличного от найденного решения (110), не существует.
Теорию, развитую в этом параграфе, можно рассмотреть и для случая< плоского поля, т. е. поля векторов а, параллельных плоскости ху и зависящих только от коордннат х, у. При этом получаются* совершенно-аналогичные вышеприведенным результаты; мы предлагаем в качестве упражнения доказать некоторые из них.
Задача 156. Какая функция расстояния г между двумя точками P (х, у) и Q (I, т]) является решением уравнения Лапласа в плоскости?-Ответ. Jg л
Задача 157. Найти аналог формуле (43) для случая плоского поля. Ответ.
SCC
где S — область, ограниченная контуром С, внутри которой леясит точ^ ка Р; г = FQ. 240
векторный анализ
Fn. II
Задача 158. Какой вид нмевт решение уравнения Пуассона на плоскости
Дф = р (г, у) (122)
Ответ.
V (Р> = ЯГ$ Р ^ lg Г dl dT) (123)
S
Задача 159. Пусть во всей бесконечной плоскости заданы вихрь и расхождение вектора а:
di-«= fe + ^-P^»). ^=4?-?)=^*' ^ <124>
Определить вектор а. Ответ.
_ Ap__dq> (h|>
дх ду' aV ~ ty Зі
где
Ч> С*. У) = "У P (S. 1) Ig ' ^ ф(э:, 1) Ig 'fl Al (125)
S S
З а 3 а ч а І60. Вывести для задачи Дирихле на плоскости формулу, аналогичную (97), и показать, что для круга решение задачи Дирихле дается интегралом Пуассона
