Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
т + п + р = і (25)
Исключение составляет случай компланарности векторов a, b и с, когда при всяких т, п и р вектор г будет им компланарен, так что ари всяких т, п и р точки А, В, С a P будут лежать в одной плоскости.
В самом деле, чтобы доказать необходимость условия (25), предположим, что точки А, В, С и P лежат в одной плоскости. Тогда векторы
AP — т — а, A5 = Ь — a, AC =* о — а «удут компланарны, следовательно
т — а = п (Ь — а) + р (с — а)
г = а (1 — п — р) + nb -+- ре % 2 СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ И РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Ц
так что в силу единственности разложения вектора по векторам а, Ь, с (в случае их некомпланарности) мы должны иметь
т = 1 — п — р, т + п + р = 1 Обратно, пусть т + п + р = 1, тогда
г — а = та + «Ь + рс — а = та + nb + рс — (т + п + р) а = = п (b — a) -I- р (с — а)
следовательно, вектор AP компланарен векторам AB и АС, так что А, В, С и P лежат в одной плоскости.
Таким образом, уравнение (24) при условии (25) можно рассматривать как векторное уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Л (а), В (Ь) и С (с).
. Задача 8. Пусть радиусы-векторы вершин ДABC суть п, га и г3. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и найти радиус-вектор этой точки.
Обозначим середины сторон ВС, CA, AB через А', В', С. Радиус-вектор А' будет, по задаче 3, равен
* =1-(1*+
поэтому уравнение медианы AA', как уравнение прямой, проходящей через точки AaA', будет по задаче 6
г = ягп + (ги + г») (26)
Точно так же найдем уравнение медианы BB':
Г = nrs + цр (ГІ + Гз) (27)
Чтобы найти точку пересечения медиан AA' и BB', надо приравнять оба выражения (26) и (27), так как для этой точки оба вычисления должны давать одно и то же выражение; итак
пи* + ~2т (г2 + Гз) = ПГ2 + ^(n + Гз) (28)
Мы удовлетворим этому уравнению, если приравняем коэффициенты при п, гз и rs в обеих частях равенства (28):
_ 1 — п 1 —т __1 — т _ 1 — я
т ~ ~2~' ~2~ — 2 — ~~2 Отсюда находим
» = T
так что искомая точка пересечения D медиан AA' и BB' имеет следующий радиус-вектор:
* = i(«i + ? + ?) (29)
2 H. В. Кочин ts ВЕКТОРНАЯ АЛГЕВРА Гл. 1
Если бы мы стали определять точку пересечения медиан BB и CC', мы получили бы, по симметрии полученного выражения (29), тот же самый результат, так что третья медиана проходит через ту же точку D, Задача 9. Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Проведем биссектрисы AA' и BBj углов с вершинами А и В в обозначим точку пересечения этих биссектрис через P (фиг. 13).
Обозначим орты векторов а, Ь и с соответственно через
а b о
a,=-, h, = с, = т
Если мы на сторонах AB a AC отложим единичные векторы AK — Cl в AL = — bi и построим на них параллелограмм, то диагональ его в будет, очевидно, биссектрисой угла А. Поэтому вектор АР, направленный по згой биссектрисе, будет коллинеарен с вектором
служащим диагональю параллелограмма AKML, поэтому
АР = х{C1- Ь.) _ * _
где X — не определенный пока параметр.
Циклической перестановкой (т. е. заменой а на b, b на с, с на а, х на у) получим аналогичное уравнение для вектора BP:
SP = ^a1 -C1) -»(і-4-)
Чтобы найти X я у, заметим, что
IP = Jb + ёр
Мы не можем в этом уравнении приравнять по отдельности козффв-ниенты при а, Ь, с, так как эти векторы компланарны, а именно
a + b + с = 0 (31)
Исключим поэтому а; из уравнения (31) мы зайдем
а = — Ь — с
Подставляем это выражение в уравнение (30): I 2 СЛОЖЕНИЕ. ВЫЧИТАНИИ и РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ 19
Теперь мы можем приравнять по отдельности коэффициенты при Ь и с, ибо разложение по двум не коллинеарным векторам b и с должно быть единственно:
_— = 1_— — —
b а ' с а о
Решая этн уравнения, находим
_ ас
У ~~ а + Ь + с '
X =
be
a -f b + о
Следовательно
AP =
be — cb a + b + в '
BP =
а + Ь + с
Если бы мы стали искать точку P' пересечения биссектрис BB' и CC', то пашли бы результат, который можно получить из предыдущего циклической перестановкой букв:
лЬ — Ьл
BP'
а + Ъ + с*
CP' =
a + b е
Отсюда видно, что BP = BP', т. е. точки P в P' тождественны, что и требовалось доказать.
Задача 10. Найтв радиус-вектор точки пересечения биссектрис Д ABC, радиусы-векторы вершин которого суть A (n), В (га), С (?), а про» тнволежащие этим вершинам стороны суть а, Ъ, с.
Ответ:
_аГі + Ьтг +
™ а 4- Ь 4- с
Задача 11. Доказать, что следующим построением можно найти любую целую часть (половину, треть, четверть и т. д.) отрезка AB.
Проведем (фиг. 14) прямую CD, параллельную AB, внешнюю точку О соединим с точками AnB прямыми, которые' пусть пересекут CD в точках CnD.
Проведем диагонали получившейся трапеции AD и ВС и соединим точку их пересечения Ki с О прямой ОК%, которая пусть пересечет AB в точке Ls, тогда А1л = -L AB-, соединим далее L3 с С, найдем точку пересечения K3 прямых AD и LiC, проведем прямую OKi, тогда в пересечении последней с AB найдем точку Li, такую, что ALs — -L AB и т. д.
Для доказательства возьмем точку О за начало радиусов-векторов и будем обозначать радиус-вектор какой-лкбо точки P через гр.
