Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
. _ 9а і да , да /оч
(V . V)a = + + V, J5- (3)
Применение оператора V оказывается чрезвычайно удобным во многих вопросах векторного анализа. Поэтому мы подробно остановимся на его свойствах.
Покажем прежде всего, что расхождение вектора а можно формально рассматривать как скалярное произведение символического вектора V на вектор а
a = ia, -I- ja„ 4- каг
В самом деле, производя это перемножение по формуле скалярного умножения двух векторов
b • а = bxax + ЬуОу 4- Ьгаг
и полагая
t Ь , д . д
= ¦ Ь'" S
получим
9а да да.
Покажем далее, что вектору V можно дать другое толкование. С этой пелью запишем наше первоначальное определение div а следующим образом
ф n . а dS div а = Iim ——т,-
V-41
Сравнивая это выражение с предыдущим, получаем
ф п • adS
v-ю
Х7 • а = Iim Т,--(5) §15 оператор гамильтона
16S
-Рассматривая это равенство, мы видим, что под знаком поверхностного интеграла стоит скалярное произведение из единичного вектора нормали и вектора а в соответствии с тем обстоятельством, что слева стоит скалярное произведение вэ V и вектора а. Покажем еше на двух примерах, что это обстоятельство неслучайное.
Примем во внимание три формулы (14) § 14; умножим первую из этих формул на і, вторую на j, третью на к и сложим трв полученных равенства. Так как
і cos (n, х) + j cos (а, у) H- k cos (л, z) = о
»S+J-g- + *-?-**
то мы получаем формулу, аналогичную формуле Гаусса — Остроградского
фср n dS => ^grad ф dV (6)
Пусть теперь V обозначает бесконечно малый объем, стягивающийся к точке M', тогда мы имеем по теореме о среднем, что
Следовательно,
v
где AZ11 M1 и M3 — какие-то средние точки объема V. Разделив предыдущее равенство на V, перейдя к пределу при V-On заметив, что при 8том точки A/,, Mi и M3 переходят в точку М, получим я предположении непрерывности производных <йр / dx, diр / dy, dy / dz, что
V^0 у \ зX Ju \ Oy /jm j \ dt Jt1
или
n Ф dS
Vф = lino -—v--(7)
Эта формула для grad ф совершенно аналогична формуле (5) для div а. При этом опять под знаком интеграла стоит выражение ікр, построенное из Уф путем замены SJ на единичный вектор нормали а. 150
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
Обращаясь теперь к операции (v • V)a, мы должны ожидать, что для этой операции справедлива формула
|)(v . n) adS
(vV) a- Um^-v--(8)
Покажем, что это действительно так, однако лишь с той весьма существенной оговоркой, что вектор v считается постоянным¦ В самом деле, постараемся при этом условии вычислить интеграл
^(V . «)аdS = фіг^а cos (n, х) +- »„a cos (п, у) -+- vt& cos (n, z)\dS (9)
Мы имели ракее формулу
|><pcos(n, х) dS = ^ dV
Очевидно, что эта формула справедлива и для вектора
фa cos (п, х) dS = ^ (10)
s v
(ибо она справедлива для каждой составляющей этого вектора); точко так же мы имеем
(11)
S V
<§> a cos (п, г) dS = ^ ^dV (12)
Помножая эти три формулы по порядку на постоянные чиела vx, vv, Vz а складывая, мы найдем
^ [»жа cos (и, х) + Vya cos (п, у)+ игa cos (n, z) J dS —
S
Г / Эа . За аа\»7
+ ч +
или
<§> (V - n) a dS = ^ (V - V) a dV (13)
откуда, повторяя то же рассуждение, что и для grad ср, выведем формулу (8). Разъясним теперь, почему нам нужно в этой формуле считать v постоянным. Дело в том, что символический вектор V является дифференциальным оператором, так как ок содержит в себе производные по координатам. Между тем, в выражении (v ¦ V) а вектор v стоит переб оператором Vi и поэтому этот оператор V не может действовать на v, почему нам п приходится считать вектор v постоянным. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
151
2. Три рассмотревших примера позволяют нам дать общее правило для определения значения выражения L (V). где L (а) есть линейное однородное выражение относительно вектора а, т. е. выражение, удовлетворяющее двум условиям:
L (а 4- Ь) = L (а) 4- L (Ь), L (Xa) = XL (а)
где а и Ь — какие-нибудь векторы, А. — какое-нибудь число. Бели в этом выражении мы рассматриваем V как оператор
„ . д , . а . . д
TO MK должны в выражении L (V) произвести с этим оператором все требуемые действия, причем мы условимся, что оператор V действует на все векторы, которые стоят позади него, и, не действует на те векторы, которые стоят перед ним. U римеры:
W -1-& + І-3- + (14)
+ + (ад
div») д (» а) д (»,a) ,,^i
(V •v) а = gj— H щ— Л gf— (18)
Чтобы дать другое представление L (V)» докажем следующую общую формулу Гаусса — Остроградского:
J L (V) dV = <§>L (n) dS (19)
В самом деле, в силу линейности L (V) мы имеем прежде всего, что
¦ Ji(V)-F-JL(Ii)^
Рассмотрим последний из этих интегралов; так как векторы, стоящие перед V. мы условились считать постоянными, то мы имеем право написать в силу линейности L (а)
Чк
и, следовательно,
Il ik Ddv=5 ^dv 152
викторньія анализ
Гл. П
Выражение L (к) является либо скаляром ф, либо вектором а; в нервом случае мы можем применить формулу
^ = <^ф cos (в, 2) dS
Во втором случае формулу
^ ^dV = |>а cos (в, z) dS
