Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
которые в свою очередь зависят от г1, я2, . . . , г"; следовательно, ж* можно рассматривать как сложную функцию от х1, з?, ... , Sn, заданную
через посредство вспомогательных функций Xі, Xа.....хп, причем,
конечно,
Xk (a;1 (Sl, .... S"), . . . , хп (?1, . . . , 2")) = X*
Дифференцируя обе части этого равенства по Si, мы получим, очевидно, что
^дл? дх дх v '
что в связи с (34) и доказывает справедливость формул (32).
Отметим попутно формулу, аналогичную формуле (35):
= (36)
дх* дх' V '
Полученный тензор обладает тем замечательным свойством, что любая его составляющая имеет то же самое значение во всех системах координат. Заметим еще, что с точки зрения общего определения можно векторы называть тензорами первого ранга, а скаляры — тензорами нулевого ранга.
§ 31. Тензорная алгебра
1. Перейдем теперь к установлению основных операций с тензорами. Основное, на что нужно обратить внимание, заключается в том, что определения действий с тензорами должны быть таковы, чтобы в результате производства этих действий вновь получился тензор.
Так, например, умножая все составляющие какого-либо тензора, например на скаляр X, мы получаем, очевидно, составляющие ХАЇр нового тензора; В этом состоит операция умножения тензора на скаляр.
Операция сложения двух тензоров одного и того же вида (т. е. имеющих одинаковое количество нижних индексов и одинаковое количество верхних индексов) естественно определяется следующим образом: нужно сложить соответствующие составляющие данных тензоров { 30 общее определение вектора и тензора
357
в результате получатся, как нетрудно показать, составляющие нового тензора, который и называется суммой двух данных тензоров. Так, например,
Cl? = Alp + Blfi (1)
есть сумма тензоров 4? и B^.
Нетрудно- видеть, что сложение тензоров обладает обычными свойствами, как например, коммутативным и ассоциативным.
Рассмотрим контравариантный тензор второго ранга Aa^. Если при изменении порядка индексов его составляющие не изменяют своих значений, т. е. если
A^ = Aap
то тензор Aa^ называется симметричным; если же при изменении порядка индексов составляющие тензора Aafi меняют свой знак на обратный, так что
Aea = - Aa*
то тензор называется антисимметричным. Такие же определения можно дать и в случае ковариантного тензора второго ранга.
Так же как в § 23 можно доказать, что любой контравариантный или ковариантный тензор второго ранга можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров.
2. Переходим к определению произведения двух тензоров. Пусть даны два совершенно произвольных тегзора, например и BttS-
Первый тензор имеет л9 составляющих, второй тензор имеет п3 составляющих. Перемножим каждую из п" составляющих первого тензора на каждую из п3 составляющих второго теиаора; в результате мы получим п& составляющих
Ca's = (2)
Докажем, что эти и5 составляющих образуют тензор; в самом деле, так как A^ есть тензор, то мы имеем следующие формулы преобразования
по той же причине
-ik jfi Зха за/1
Kn г>? ох' ЭхЬ дх"
5 результате перемножения этих равенств мы получим
-7кЪ* л Po« Эха вхк Эх'1 дхъ дх"
AiBlm^
.или
Г"п — Эх* ^x' Эх* d^ Э*П 358
элементы общей теории тензоров
Гл. IV
а это последнее равенство, по определению, выражает, что есть
тензор три раза ковариантный, два раза контравариантный. Полученный тензор и называется произведением двух данных тензоров.
В случае афинных ортогональных тензоров, из формул (18) и (19) I 22 следует, что диады ab и ba, составляющие которых получаются перемножением составляющих двух векторов а и Ь, могут быть рассматриваемы как произведения векторов а и b в только что указанном смысле.
3. Рассмотрим теперь так называемую операцию сокращения индексов. Пусть мы имеем какой-либо тензор, в состав которого входит, по крайней мере, один ковариантный индекс и, по крайней мере, один контравариантный. Для определенности предположим, что речь идет о тензоре A1aз- Этот тензор имеет п3 составляющих. Обратим в этом тензоре внимание на один из ковариантных значков, например, ? и на контравариантный у. Составим теперь выражение А% (т. е. примем у = ? и произведем затем суммирование по P а пределах от ? = 1 до ? = п). В результате мы получим п чисел
Ba = (3)
Докажем, что эти л чисел образуют тензор первого ранга.
В самом деле, так как есть тензор, то формулы преобразования имеют вид
A1 = Ay
* * дхOxy
Положим в этой формуле I = к и просуммируем по значку к в пределах от к = 1 до к = п, тогда получим
дх* ЭзР дхк дх 'дх* дху
Но по формуле (36) предыдущего параграфа
да? дх" = 6(5 д2е дх'1 у
Следов ательно,
Л ^=4??-? (4)
Заметим теперь, что по формуле (3)
Bi = Afk (5)
С другой стороны, пользуясь для ясности знаком суммы, будем иметь
AIeK^ = Z S S
дх «-1 0=1 Y=L дх
Произведем сначала суммирование по Т< так как б? = 0, если т ?, то ясно, что при суммировании по у останется только тот 4nent тензорная алгввра
359
который соответствует значению у = J3, итак как при у = ? мы имеем б? S= 1, то
