Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 60. Применить формулу (30) для вывода теоремы синусов сферической тригонометрии.
Обращаемся к обозначениям и чертежу задачи 57. Полагая в формуле (30), a = T1, b — гг, с = г31 найдем
(г, X r2) X (гі X rs) = г, Erl-(r2X rs)]
Мы уже ВЫЯСНИЛИ, ЧТО величины векторов Г, X Га, Г, X Г8 суть Sin Y и sin ?, а угол между ними равен А, поэтому величина произведения четырех векторов слева равна sin ? sin Y sin А и мы получаем таким образом интересную зависимость
sin ? sin Y sin А = jIri-(F2Xr3)]) (32)
выражающую объем параллелепипеда, построенного на трех единичных векторах, произведением синусов двух сторон сферического треугольника и синуса угла между ними.
Так как все равно, какие стороны брать за ?, у, мы можем написать еще две формулы
sin Y sin a sin В — | г, ¦ (r2 х rs) j sin а sin ? sin C = I Tl-(T1Xts) [
Сравнивая эти три формулы, найдем
sin ? sin Y sin Л = sin Y sin a sin B = gin a sin ? sin C откуда и выведем теорему сннусов делением на sin а sin ? sin f:
зів А _ sin В _ sin С
яш а sin ? sill т ^ ' { g ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
67
Задача 61. Выяснить, что векторно-скалярное произведение трех полярных векторов есть псевдоскаляр, а двойное векторное произведение трех полярных векторов тоже есть полярный вектор.
Задача 62. Каким вектором р изображается перпендикуляр, опущенный из начала координат на прямую (г — п)ха = 0?
Ответ:
_ ax(fixa) P--
Задача 63. Найти линию пересечения двух плоскостей г-а = а a r>b = P-
Ответ:
г х (а х b) = ?a — «Ь
З а д а ч а 64. Доказать формулы
ах Ibx (сх d)| = (b>d) (axe) — (b-c) (a x d) a X |bx (с X d) 1 = [a-(c x d)!b — (a-b) (с x d)
Задача 65 Доказать формулу
(a *b). t(cxd)x (ex f)l = [(axb)-e! ff.(cxd)l— f(axb).fl le-(cxd)l
§ 8. Векторные уравнения
1. В силу двойственности понятия об умножении векторов нельзя поставить вопроса о действии деления векторов в обычном смысле слова. Приходится заменять это действие решением различных векторных уравнений, как например,
г-а = т или гха = b
где г есть неизвестный вектор.
Рассмотрим в этом параграфе несколько вопросов теории векторных уравнений.
Мы уже ранее при определении действия вычитания векторов рассмотрела уравнение
г + а = Ь (1>
в показали, что его решением является
г = b - а (2)
Уравнение
г-а = т (3)
ймеет бесчисленное множество решений, так как оно определяет только составляющую вектора 'г в направлении вентора а, величина которой будет га = т/ах составляющая же в направлении, перпендикулярном к а, остается совершенно произвольной. Таким образом, если рассматривать с как радиус вектор некоторой точки M относительно начала координат О, то геометрическое место концов всех векторов г, удовлетворяющих
ь* 08 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБР А Гл. I
уравнению (3), будет плоскостью, перпендикулярной к еектору а а отстоящей от'начала координат на расстоянии т/а.
Причина такой' неопределенности решения векторного уравнения (3) заключается в том, что вектор полностью определяется тремя составляющими, а 'уравнение (3) дает только одну алгебраическую зависимость между этими тремя составляющими
ахх + ауу -I- azz = т (4)
где X, у, Z — составляющие вектора г.
2. Полностью вектор г может быть определен из системы двух векторных уравнений, дающих скалярное и векторное произведение г на а:
г. а = л», г X а — h (5)
где, конечно, b должно быть перпендикулярно к а.
Для решения этой системы применим формулу (18) § 7, дающую разложение вектора г на две составляющие, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна в а:
г = -^r а+ ^ах(гха)
Подставляя сюда данные выражения г-а и гх а, найдем единствен* ное решение системы (б), в виде
+ (0)
(проверка показывает, что это г действительно удовлетворяет системе).
Такая определенность решения получилась благодаря тому, что система (5) равносильна трем алгебраическим уравнениям, служащим для определения трех составляющих вектора г:
ахх + ОуУ + a2z = т a1y — ayz = bx -OzX + axz = bv (7)
OvZ — = bz
(Ыа тпех последних уравнений этой системы одно является следствием двух других, в чем легко убедиться, умножая их соответственно на ах, O1,, ах, складывая результаты и принимая но внимание соотношение a«b — axbx + aj>y + a.bz — 0.)
Таким образом решение трех линейных уравнений системы (7) есть
-lVbZ - "Л
+ —iJL—JL^ (8)
aX + V + aI
таг . "А - aA
a/ +V+ V V + V + аг2 { g ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
69
Если мы хотим найти общее решение уравнения (3)
г-а = т (3)
то должны считать b произвольным (мы можем в данном случае отбросить условие b.a = 0, так как в Ьха параллельная а составляющая вектора b все равно пропадает), так что общее решение уравнения (3) можно написать в виде
г = 7+»хВ (9)
где В — произвольный вектор.
Если же мы ищем решение уравнения
rxa = b {Ь-а = 0} (10)
то должны считать т произвольным, так что, вводя вместо ^ произвольный параметр ц, будем иметь. а
axb,
г = ___ + [Аа (И>
Очевидно, это есть уравнение прямой, параллельной вектору а. 3. Поставим теперь задачу решить систему уравнений:
