Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
395
Rri в точке M', полученный вектор обозначим через а', а его составляющие через По формулам (9) мы можем по этим а«' определить соответствующие им величины А'1, причем необходимо, конечно, принимать в формулах (9) для дуа/дхг значения этих функций в точке M'.
Контравариантный вектор с составляющими А' в точке M мы будем считать равным вектору с составляющими Ali в бесконечно-близкой точке M' и будем говорить, что вектор с составляющими А" в точке M' получается из вектора А' в точке M путем параллельного переноса в пространстве Rn.
3. Перейдем теперь к вычислению составляющих вентора А" через составляющие вектора Ai и через составляющие dx4 вентора бесконечно-малого перемещения из точки M в точку M'. В основу вычисления мы положим следующий, геометрически очевидный для случая Ri (фиг. 94) факт: среди всех векторов а' = M'N', касающихся пространства Rnl тот вектор является проекцией вектора а = M'N, для которого расстояние N'N является наименьшим. Но вектор NN' имеет в пространстве Em своими составляющими величины
/?М' АЛ \дх'
?Л Ali--^iAi (10)
г / дх
где штрих указывает на то, что значение рассматриваемой величины берется в точке M'. Введем теперь обозначение
6А4 = А" — Ai (11)
и заметим, что
(i?) -??+ ^dx
Тогда, ограничиваясь бесконечно-малыми величинами первого порядка, будем из (10) иметь, что-
Фиг. 94
и, следовательно,
Рассматривая в этом равенстве 6А' как независимые переменные, определим их таким образом, чтобы сумма (12) была минимумом. Для этого, согласно правилам дифференциального исчисления, нужно приравнять нулю производные этой суммы по всем величинам бAr (с = 1,..., в).
В результате получим п равенств
ТЛ элементы общей теории твнзоров
Гл. IV
Итак, при параллельном переносе вектора Ai его составляющие получают приращения ЪА1, определяющиеся из следующих равенств:
"'S +""!^iSr- <13>
S=O
Но согласно формулам (4) мы имеем, что
Sm dVa 9Va. ,А,,
Нетрудно далее показать, что
в самом деле, мы имеем, согласно определению символов Кристоффеля [формула (22) § 33} и в силу формул (14):
1 ( dU 2 V Ar* . 9Skr + а.' dSik \ дхт )
Эу* дх 3*Уа
< дз*дх{ дх" дх O x
/ агУа *»« Shla NI =
V Qxi дх' дх" да? дх" дх Л
_ у аУд ~~ дхг дх1 дх*
В результате формулы (13) принимают вид
girb Ai + Гг> IkA1 dx" = О
Умножая их на grx и пользуясь тем, что
Sir Srx= gl Ja=
получим окончательные выражения для разности значений SAi контравариантных составляющих двух одинаковых векторов, приложенных в двух бесконечно-близких точках
6АХ + T^kAi dxk = О (16)
4. Весьма замечательным является то обстоятельство, что согласно только что полученным формулам приращения 64 х могут быть выражены исключительно через зеличины, относящиеся к нашему риманову пространству Д„. Геометрически это означает следующее: одно и то же рима-ново пространство может быть вложено в эвклидово пространство разными способами и можно было бояться, что данное нами выше определение параллельного переноса вектора может привести к различным результатам, смотря по тому, каким образом связано данное риманово про- I 35 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕНТОРА
397
странство Rn с эвклидовым пространством Em. Но как видно из (16), в результате параллельного переноса вектора в бесконечно близкую точку риманова пространства получается всегда- один и тот же вектор, независимо от того, каким образом было вложено риманово пространство в эвклидово. Иными словами: процесс параллельного переноса вектора в бесконечно-близкую точку есть внутреннее свойство риманова пространства.
В связи с этим интересно отметить, что, вообще говоря, невозможно определить параллельный перенос вектора из одной точки M риманова пространства Rn в другую точку Р, отстоящую от первой на конечном расстоянии, при помощи того же самого способа, которым мы пользовались выше, а именно при помощи вложения пространства Rn в эвклидово пространство Em. В самом деле, легко показать, что в этом случае при различном выборе пространств Em у нас будут получаться в результате описанной выше операции различные векторы в точке P и, следовательно, в этом случае описанная выше операция не дает нам внутреннего свойства риманова пространства и, следовательно, не может быть взята за определение параллельного переноса вектора из одной точки в другую. Проиллюстрируем на простом примере это явление. Возьмем круговой цилиндр радиуса 1 с осью, идущей по оси Oz в эвклидовом пространстве трех измерений. Будем определять положение точки в пространстве цилиндрическими координатами р, <р, z. Тогда квадрат элемента длины в пространстве имеет выражение
ds? = dp" + Ps <V + dzа
Для кругового цилиндра радиуса 1 с осью Oz имеем р = 1 и для квадрата элемента длины на поверхности цилиндра мы получаем выражение
ds1 = + di?
Рассмотрим с другой стороны в- том же эвклидовом пространстве плоскость Оху. Для нее квадрат элемента длины имеет выражение
ds? = di? + dy*
Сравнивая это выражение с предыдущим, мы видим, что с точностью до обозначений поверхность кругового цилиндра и плоскость имеют совершенно одинаковые выражения для квадрата элемента длины, т. е. представляют собою совершенно одинаковые римановы пространства Лг. Между тем ясно, что, если мы возьмем вектор, касательный к поверхности цилиндра и перпендикулярный к оси Oz, и перенесем его в трехмерном пространстве параллельно самому себе, то в некоторых точках цилиндра он будет перпендикулярен к поверхности цилиндра и, следовательно, его проекция на касательную плоскость будет равна нулю. В плоскости же Oxy каждый вектор при параллельвом переносе его сохраняет свою величину. Таким образом, данный выше метод параллель- 398
