Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 56

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 144 >> Следующая


S j cos (п, г) j = I(S2)I § 16 циркуляция вЕктора вдоль контура

165

С другой стороны, если п составляет с осью z острый угол и выбрана, например (как показано на фиг. 57), левая система координат, то Cz направлена по часовой стрелке (если смотреть с положительной стороны оси г), так что вектор, представляющий ограниченную контуром Cz площадь, надо направлять по положительной оси z, т. е. надо брать равным I Sz ] k = Szк (ибо в этом случае ] Sz | = Sz). Если же угол п с осью z тупой, то C1 обходится против часовой стрелки, и площадь проекции надо представлять вектором — [52|к, опять равным 5,к, ибо в этом случае

[Sz I = S I соз (п, г) [ = - S соз (а, г) = — Sz

Если С кривая, не лежащая в одной плоскости, т. е. кривая двоякой кривизны, то она не ограничивает плоской площадки; в этом случае можно рассмотреть кривые поверхности, ограниченные контуром С, эти кривые поверхности могут быть представлены вектором S, который получается следующим образом. Проектируем контур С на три плоскости координат Oyz, Ozx, Оху\ полученные проекции Cxl Cv, Cz ограничивают три площадки, которые могут быть представлены векторами Saj, S2k; тогда

S = iSx + jSy + kSz

Вычислим теперь несколько криволинейных интегралов, которые нам понадобятся при вычислении общего криволинейного интеграла (2).

Прежде всего очевидно, что

Фиг. 57

ф dx = 0, ф X dx = ф d (у) = О

С GC

Вычислим далее ф у dx. Прежде всего ясно, что

(5)

1

*

^y dx — ф у dx (6)

Сг С

ибо в соответствующих точках контуров С и Cz координаты X и у одни и те же, и только координаты Z —разные. Но легко видеть, что

Фиг. 58

ф у dx =

(7)

В самом деле, пусть ордината, отвечающая элементу dx, пересекает C1 в двух точках: M1 и M2 (фиг. 58), тогда при обходе контура по часовой стрелке элемент, отвечающий точке M1, надо брать с отрицательным знаком [на этом элементе х убывает (фиг. 58)], а элемент, отвечающий точке 166

вЕкторный анализ

Гл. Il

Af3, с положительным,, поэтому элемент dx дает интегралу член

(— + Уі) = — <Уі — Уз) dx

где yi я уг означают ординаты точек Af, и M2. Но (у^ —dx есть как раз часть площади, отвечающая элементу dx; суммируя по всем элементам, найдем:

ф у dx = -S1

я, следовательно,

"> у dx = — S1 (8)

Ь

G

сто и требовалось доказать. Точно так же доказывается, что

<|> Z dx = г dx = Sv (9)

с Cv

2. Возьмем теперь фиксированную точку пространства Af, которую, удобства ради, перенесем на время в начало координат. Рассмотрим далее расположенный вблизи точки M бесконечно малый контур С, на котором задано определенное направление обхода. Предположим, наконец, что соответствующий всем поверхностям, натянутым на этот контур С, вектор S = Sn стремится по величине к 0, а по направлению — к фиксированному направлению, орт которого обозначим через пй.

Поставим теперь задачу вычислить значение линейного интеграла вектора а вдоль С или, как его называют иначе, циркуляцию а вдоль Ci

ф a.fiur = ф (a^dx + a^dy + azdz) с с

Точнее говоря, вычислим значение следующего предела;

^ ф (axdx 4- aydy + a/lz)

lim ІЦ— =Iim ?--.--(10)

S-Hi л S-»o л

когда контур С стягивается к точке М. Достаточно найти, чему равняется

f

і ах (х, у, г) da

Iim е--

s-H) л

Разлагая ах (х, у, z) в ряд Тейлора по степеням х, у, z и ограничиваясь только членами первой степени, будем иметь

«х (z, у, z) =

- ах(0, 0, 0) + «[(?)„+ S1] +,[(%) о+ Еї] + -[(?)„+..] § 16 циркуляция вектора вдоль контура

167

где индекс О указывает, что нужно брить значение указанных производных в точке M (как всегда, производные дах / дх, дах / ду, daj dz в т. д. предполагаем непрерывными) и где S1, Si, еэ означают бесконечно малые величины.

Проинтегрируем вдоль кривой С, причем постоянные множители вынесем ва знаки интегралов

& ах (X, у, 2,) dx = ах (0, 0, 0) § dx + xdx +

с сс

+(Ss)0Iу dx + 8f)o§г dx+§ +уе*dx

С CC

Применим выведенные выше формулы

ф dx — ф X dx = 0, ф у dx = — Sz = — S соэ(п, г) сс с

ф Z dx = Sv =S cos (n, у)

с

предположим далее, что контур С обладает таким свойством, что если наибольшее расстояние точек контура от M рбозначить через р, то длине контура будет порядка р, а величина S порядка ра, тогда легко видеть, что

<?(38! + JfSs + ze8) dx = Se

с

где з — бесконечно малая величина. Итак

<§> ах (ж, у, z)dx = — (^f)0cos (її, z) + (^f)QCos (n, y) + s с

Отсюда в пределе S —> О получим

$ aXdx

l^o2-S---Srfocoa *> + Шо cos (-0. г/)

Аналогично получаем еще две формулы (циклической перестановкой букв X, у, г)

К - - (??003 (п"+(Socos (п<-г) И» Ч---Oo cos К. f) + (%)0соа (П0, з) 168

ВЕКТОРНЫЙ А НАЛИВ

Гл.- II

Складывая асе три выражения и отбрасывая значок О, получим следующую формулу:

і a ir



1S "

- (? - 50 - <- ¦» + №-?)- <- *¦+ (? ¦- їг)

Таким обрааом, подобно тому, как значение ЗфJds позволяет вычислить ф в соседних с M точках, лежащих на определенной прямой, значение только что найденного выражения позволяет вычислить приближенно циркуляцию по любому достаточно малому контуру, окружающему точку M и лежащему в плоскости, перпендикулярной к вектору п.
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed