Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
При преобразовании первых трех из этих уравнений мы пользовались четвертым.
8. Дадим теперь преобразование к ортогональным криволинейным координатам уравнений равновесия теории упругости. Эти уравнения, согласно (32), имеют вид
PF + div П = О (53)
где П есть тензор упругих напряжений, F — сила, действующая на единицу массы. Обозначая ортогональные проекции силы F на оси криволинейных ортогональных координат, иными словами, физические составляющие силы F через Fje,, F3c,, Fx4 а физические составляющие тензора П на те же оси через т^ и применяя формулы (47), сразу напишем уравнения равновесия теории упругости
Ci1V/ 1 9 /SlBlJSsJSi \ а In ЯД л
P^i + яг JJi(-WT^r**) --^г-7 = 0 (54>
Если вектор бесконечно-малого смещения частиц упругого тела обозначить через и, а его расхождение через в = div и, то, согласно формуле (28) § 29, имеем
П = 2цф + X8I (55)
где Ф есть тензор деформации, для составляющих которого в декартовых координатах имеем выражение
ф«т ~дуГ' aW = 2 + Ж J (56) нИкоторые применения
411
Обозначая физические составляющие этого тензора на оси криволинейных ортогональных координат через eik, получим для этих составляющих выражения, совершенно аналогичные выражениям (46) для Tia:
1 Jl 3uxi 1 дихк 1 Г .0/7, tdHkl ,
= т Irft # + ^ і? - ^ [ ^ + V J +
V "х* 3 in ЯЛ
+ 2ЫЪ-Ж (57)
Для 0 из формулы (16) получим
= (58)
Наконец, в силу формул (55) имеем следующие соотношения между Xik и Si4.:
Tit = ^fitjk 4- б?Х9 (59)
Уравнения (57), (58), (59) и (54) и представляют собою уравнения равновесия теории упругости в криволинейных ортогональных координатах.
В частном случае цилиндрических координат эти уравнения при* ни мают следующую форму:
^ri ,LaLr? 4- 4-Тгг~ t^ + 0р = о дг Т г Olf dz ^ г Tf '
5^?*+?5 + ?5+^-° (60)
причем для составляющих тензора' деформации имеем выражения, совершенно аналогичные формулам (51), а именно:
5цг 1 /1 , ou»
і / і VUf OUjp ?і .
= > ^rs ^ ~2\~г"Щ ^ "Sr ~ Т)
1 9и„ «. і /Эи„ < оил
5аг і ,диг дигу
8« = '
Еаг 2 I дг + ^
9. Рассмотренные нами обычные векторные операции в трехмерном пространстве мы можем по аналогии определить и для любого риманова пространства.
В частности, под градиентом скалярной функции / мы можем понимать вектор с ковариантными составляющими (8), под расхождением вектора можем понимать выражение (12), под оператором Лапласа, примененным к скалярной функции /, выражение (17), под расхождением тензора второго ранга выражения (29), (30), (31). 412
элементы общей теории тензоров
Гл. VX
§ 37. Тензор Римана-Кристоффеля
1. Наиболее резкое отличие тензорного дифференцирования от обыкновенного состоит в том, что при повторном дифференцировании результат тензорного дифференцирования зависит, вообще говоря, от порядка дифференцирования.
В самом деле, рассмотрим поле какого-нибудь контравариантного вектора А*, составим для него вторые ковариаитные производные V*VH" и ViV»Aa я образуем их разность. Мы имеем прежде всего
CX
и далее
VkV^ = + - rr^VpAa = ± (&Л + А*ПЛ +
cte дх \ Ac j
+ Т% + ^xH,) - TL + 4?) =
а*Аа , дА* Га дА* грдА" . л*ГаГ"< і Vа Гр 1
— r-zr-i + і Ai —і 4- Ipx-гт — 1 г«ті — A IhtIxl, + A - + U1M
Oxdx dx дх1 dir \_дх .J
При перестановко индексов гик сумма первых пяти членов последнего остается, очевидно, неизменной; последние же два члена превратятся в
^ + rw*.]
Поэтому легко получаем следующее важное равенство:
Г ^ра яг« 1
VAMa - ViV^i- = + TapxTii - T°LTU (1)
Так как это равенство имеет мосто для произвольного вектора Ax и так как слева стоит тевзор третьего ранга, два раза ковариантный и раз контравариантный, то выражение в квадратных скобках в формуле (1) является тензором четвертого ранга, три раза ковариаптным, раз контра-вариантным. Этот тензор называется тензором Римана-Кристоффеля и обозначается следующим образом:
Ru *¦=- 5 + - г; Л* (2)
При атом обозначении равенство (1) перепишется следующим образом Ч*ЧіАа - ViV«^ = AxRi;? (3)
Из него следует, что при ковариантном дифференцировании вектора порядок дифференцирования можно изменять только в том случае, если тензор Римана-Кристоффеля обращается в нуль. Если в основной квад. ратычиой форме пространства
Ost = g^dx1 dx» (4); I_37___ТЕНЗОР РИМАял-КРИОТОФФВДЯ 413
коэффициенты gib Не зависят OT КООрдиц.^ Т0) как следует из формул (22) и- (24) § 33, все символы Кристоффеля обращаются в нуль. Но тогда по формулам (2) И тензор Римана-Кристоффеля обращается в нуль.
Можно показать, что обратно, если тензор Римана-Кристоффеля во всех точках пространства обращается в нуль, то в этом пространстве можно выбрать такие координаты as1, ж*, .... х", чтобы основная квадратичная форма приняла вид (4) с постоянными коэффициентами gik. Но ясно, что в этом случае ковариантное дифференцирование совпадает с обыкновенным, и поэтому делается понятным, почему в этом случае порядок дифференцирования не влияет на его результат.
2. Рассмотрим теперь свойства тензора Римана-Кристоффеля. Отметим прежде всего, что, как явствует из самого определения этого тензора, он зависит только от составляющих фундаментального тензора gilt и их первых и вторых производных, входящих через посредство символов Кристоффеля.
