Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
где / есть произвольная функция своего аргумента, есть решение уравнения (65). Итак, мы приходим к заключению, что роль функции у для обобщенного волнового уравнения (56) должна играть функция
ф(г,г)=/Л^Х?> (67)
Чтобы выяснить механическое значение этой функции, вспомним, что в той задаче о малых колебаниях сжимаемой жидкости, решение которой приводится к исследованию уравнения (58), вектор скорости определяется формулой
V — grad q> (68)
Но
grad = -? + ±/'(* _ f)}grad , -
= -?{ /(i-f) + f/-(,-f)} (69,
При малых г вторым членом в скобках можно пренебречь в сравнении с первым. Поэтому вблизи полюса Q мы имеем приближенное равенство
V--fJgL (70)
Но это равенство соответствует, как мы знаем, источнику обильности — 4л/ (і). Следовательно движение жидкости, имеющее потенциал скорости (67), можно себе представлять происходящим н силу того, что в полюсе Q находится точечный источник интенсивности — 4я/ (t), меняющейся с течением времени. Однако, в силу сжимаемости жидкости, 5 2< переменный поля в сплошной срЕде
273
этв изменения интенсивности источника не сразу передаются на всю бесконечную жидкость; в самом деле, И8 формулы (67) видно, что в точке Р, отстоящей от точки Q на расстоянии г, сказывается та интенсивность источника, которая имела место в момент t — г/с; а так как г/с есть как рае время, необходимое для пробега расстояния г со скоростью с, то можно сказать, что первоначальное возмущение в точке Q достигает какой-либо точки P с запаздыванием, равным как раз времени пробега от Q до P со скоростью с. Поэтому выражение (67) можно назвать запаздывающим потенциалом. Заметим, что так как значения функции (67) одв-наковы для фвксированного значения г, то движение, определяемое формулой (67), представляет сферическую волну.
Првнимая теперь во внимание, что решение уравнения Пуассона (59) дается Ньютоновым потенциалом (60), мы можем ожвдать, что решение уравнения (56) может быть представлено в виде запаздывающего Ньютонова потенциала:
ф («,у, (71)
OO
В § 19 мы проверили непосредственным вычислением, что функция (49) удовлетворяет уравнению (48). Повторим теперь это вычисление для функции (71). При этом мы будем предполагать, что функция р, ее первые частные производные и вторая частная производная, взятая два раза по і, непрерывны и ограничены всюду, за исключением конечного числа поверхностей, на которых они могут терпеть разрывы, и что на бесконечности р является бесконечно малой величиной порядка не ниже третьего.
Для большей ясности, мы условимся в следующем обозначении: символом [/1 мы будем обозначать функцию от 5, ti, в которой вместо t подставлено значение t — г/с (таким образом [/] есть запаздывающее значение /).
Выбрав теперь точку P0, разобьем в (71) область интегрирования на две части: на сферу V1 радиуса в с центром в точке P0 и на всю остающуюся часть пространства и введем обозначения
V,
фа (Л о - - і S №
V,
Когда точка P меняется внутри сферы Fi1 то подынтегральная функция второго интеграла не обращается в бесконечность, и можно производить дифференцирование функции <рі по х, у, z, t под знаком интеграла- Поэтому
v1
18 Н. К Коївв 274
венторныя анализ
Гл. II
и так как при этом дифференцировании точка Q считается постоянной, а функция (67) удовлетворяет волновому уравнению, то
?фа (Р, i) = 0 (73)
Переходим теперь к вычислению ? фі (Р, г). Будем при этом предполагать, что точка (Л, г)> а следовательно, при достаточно малом е и весь объем V1 лежит внутри той области, где функция р, ее первые про-изводные и вторая производная, взятая два раза но I, непрерывны. Вычисление проще всего произвести таким способом. Разобьем ф3 (Р, t) на две части
фі (Р, t) = фп (Р, t) + ф12 (P, t) (74)
где
Фп (75)
v,
есть обыкновенный Ньютонов потенциал, а
фг2 (Л t) = _ -L. J p(g.р (9- Od7 (76)
причем числитель подынтегральной функции вместе с г обращается в нуль, а сама подынтегральная функция остается конечной. Мы уже знаем, что
Дфи (Л O = P (Л 0 (77)
Так как в интеграле для ф1а (P. t) подынтегральная функция не обращается в бесконечность, то вычисление Афщ (Р, t) можно произвести очень просто. Прежде всего
grad ф12 (P, г) =
- і S Hr ¦І р (<?¦ <- т) + -Jr [ P (<?¦ <- т\- P «?¦ 4 ^rad ' ^ <78>
v1
причем легко видеть, что подынтегральная функция остается ограниченной при г — 0; в самом деле, разложим ее в ряд Тейлора, ограничившись первыми двумя членами
it) /п r\ ) ap(Q.i) 1 o1 /п дг\
-^{р (<?.'-7)-P «?. о} =
_ 1 [ г cjPtQ''' 1 1 Il а(п t 9ir M - H T—di—+ 21—г*л
где и ¦&! положительные числа, меньшие 1. Сложение этих равенств показывает, что подынтегральная функция в (78) остается ограничен- 5 2<
переменный поля в сплошной среде
275
ной. Можно поэтому отыскивать div grad qj12 (Р, t), дифференцируя под внаком интеграла. Пользуясь формулой задачи 143 и замечая, что проекция grad г на направление г равна 1, сразу найдем, что
+ P (<?. »-і)- P (?. t)\dV = 1)4 (79)
Сложение (77) и (79) дает нам, что
