Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
П = nn + sin ф (I xn) + cos ф (I — пп) (34)
Формула (34) а дает окончательное выражение тензора поворота П через угол поворота ф и через единичный вектор п, дающий направление оси поворота. Какой-либо вектор го после поворота принимает положение г, определяющееся формулой
Г = Пго = П (п.го) + sin ф {(Ixn)-ro)' + cos ср {го — п (п.го)} = = п (п<го) + Sin Ф (I «(пх Го)} + COS ф (го — O (п.го)}
или
г = п (пто) + Sin ф {ПХГо} + COS ф {Го — п (п.Го)} (35)
Эту последнюю формулу можно было бы, конечно, получить и непосредственно из простых геометрических соображений. В самом деле, пусть OA — ось поворота и пусть го =OM (фиг. 93).
Опустим из точки M перпендикуляр MA на направление оси OA и пусть А — основание этого-перпендикуляра. После поворота на угол ф вектор го займет положение г = ON, a AM повернется в плоскости, перпендикулярной оси, и займет положение AN, причем /MAN = ф.
Опустим из точки N перпендикуляр NB на направление AM и пусть В — основание этого перпендикуляра.
Мы имеем тогда, что
r = ON = OA+AB + BN
Вектор OA имеет направление а и по величин«' равен проекции вектора го на направление оси, т. е. равен п-га, поэтому
OA —ш (п-го) 332
АФИННЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
ГЛ. Tll
Вектор n X г0 равен по величине r0 sin (MOA) = AM и имеет то же направление, что вектор BN, величина которого равна AN sin <р = AM sin <р.
Поэтому
BN = sin ф {n X го}
Наконец, вектор AM = OM — OA = г0 — a (n>r0), а поэтому AB = cos ф AM = cos ф {r0 — n (п-г0)}
Складывая найденные выражения для векторов OA, AB и BN, мы и докажем формулу (35).
4. В качестве следующего нрнмера рассмотрим вопрос о сохраняемости векторных линий вектора а.
В § 21 свойство сохраняемости векторных линий определялось следующим образом: если мы имеем нестационарное поле вектора а н если частицы сплошной среды, образующие векторную лннню в какой-нибудь определенный момент la, в любой момент времени образуют векторную линию, и если это верно для любой векторной линии, то мы говорим, что векторные лннии вектора а сохраняются. В том же параграфе было выведено необходимое условие сохраняемости векторых линий вектора а:
— (a* V)"v)xa = 0 (36)
где V — вектор скорости сплошной среды.
Докажем теперь достаточность условия (36) для сохраняемости векторных лнний. Для этого нам будет удобно перейти к переменным JIa-гранжа. До сих пор мы рассматривали различные поля векторов, т. е. рассматривали значения векторов, отнесенных к фиксированным точкам пространства. Но в некоторых вопросах целесообразно рассматривать значения векторов, отнесенных к фиксированным частицам сплошной среды. В этих случаях каждой частице сплошной среды сопоставляются трн параметра а, Ь, с, которые называются лагранжевыми переменными. Движение всей среды будет известно, если будут известны координаты каждой частицы к любому моменту і:
X = X (д, Ь, с, t), у = у (а, Ъ, с, t), z = z (a, b, с, t) (37)
Чаще всего за а, Ь, с принимают декартовы координаты частицы в начальный момент времени to. В этом случае мы будем иметь, что
a = X (а, Ь, с, t0) b = у (а, b, с, t0), с — г (а, Ь, с, to) (38)
Если г есть радиус-вектор в пространстве х, у, z, а г0 есть радиус-вектор в пространстве а, Ь, с, то формулы (37) запишутся в векторной форме следующим образом:
г (го. 0 (39) § 28 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРА HO СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ
328*
Чтобы определить скорость какой-либо частицы, мы должны, по общему правилу, составить производную от радиуса-вектора г по времени t {ведь для каждой данной частицы а, 6, с остаются постоянными). В результате получим
dr
dt
или в проекциях
dx (а, Ъ, с, 2) --—dt—1
_ dy (а, Ь, с, t)
' ~~ dt
_ di (а, Ь, д, Q Vz ~ dt
(40)
Мы предположим, что функции (37), их первые и вторые производные по а, Ь, с, t существуют и непрерывны и что уравнения (37) можно решить относительно а, Ъ, с:
а = а{х, у, z, i), b = Ъ (х, у, г, t), с = с (х, у, s, t) (41)
необходимым условием чего является отличие от нуля определителя
D =
дх дх дх
~да дЬ
ду ду Эу
да дЬ де
дг Ъъ dz
да дЬ де
(42)
Вставляя выражения (41) в формулу (40), мы получим обычное представление вектора скорости v через координаты х, у, z, t, т. е. получим поле скорости. Примем за а, Ь, с, декартовы координаты частицы в момент Ja. Рассмотрим теперь к моменту to бесконечно малый вектор бг», декартовы составляющие которого равны da, 66, ac; жидкие частицы, образующие этот элемент, расположатся к моменту I вдоль вектора дг с составляющими
-?ба+-?б6+1гбс
б:
Вводя поэтому в рассмотрение тензор (см. § 24)
(43)
T = — =
rfr0
Эх да Эу
да
dz да
дх дЬ ду дЬ dz дЬ
дх
Не ду
де dz де
мы можем записать, что
бг = T бг„
(44)
(45)
Из самого понятия о сохраняемости векторных линий вектора а следует, что для того, чтобы сохраняемость векторных линий вектора а 334
афинные ортогональныЕ тензоры
ГЛ. Tll
имела место, необходимо и достаточно, чтобы из коллинеарности векторов а (го, to) и бго следовала коллинеарность векторов а (г, І) и dr. Таким образом, если
