Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
d = (d-a)a* + (d-b)b* + (d-c)c*
е = (е-а)а* + (е-Ь) Ь* + (е-с)с*
f = (f-a)a* 4- (f-b) Ь* + (f-c)c*
Составим d-(exf). При перемножении мы получим двадцать семь произведений, но только шесть из них не обратятся в нуль, так что мы получим:
d-a d-b d-c d-(exf) = e-a e-b e-c [a*'(b*xe*)] f.a f-b f-c
Ho мы доказали [формула (22)], что
а*.(Ь*Хс*) =
Следовательно,
[a-(bxc)] Id-(ex f)l =
a«(b X с)
a-d b-d c-d
a-e b-e c-e
a<I b-f с-f
Если выразить это тождество через составляющие векторов, то получится теорема об умножении определителей 3-го порядка.
ах Ov аг dx dv dz
К ьу К е* «и «г
Cx cV Cz fx /и и
axdx + ajiy + Mx + Mw + V* Cxdx + Cydy + с/1,
ахех + O^ey + a ^ez b^ex -f + b2ez CaBx +• CuC0 + czez axfx + ajv -г a2fz bjx + byfy +¦ b2fz cxfx + cyfv -t- CzJ2
(41)
Если в формуле (40) положить d = a, e = b, f = с, то получится формула, дающая квадрат объема параллелепипеда, построенного на ребрах а, Ь, с:
[а-(Ьхс)Р :
а2 а.Ь а.с а-Ь Ь2 Ь-с
а.с Ь-с с2
(42)
= O2Wc2 - а2 (b-c)8 - Ь2 (сaf — cs (a-b)2 + 2 (а-Ь) (Ь-с) (с-а) = = a2i2c2 (1 — cos2 (Ь,с) — cos2 (с, а) — cos2 (a,b) + 2 cos (a,b) cos (b,c) cos (с,а)) ГЛАВА IJ ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
§ 9. Переменные векторы, зависящие от скалярного аргумента.
Годограф вектора. Дифференцирование вектора по скалярному аргументу. Формулы дифференцировании.
Интегрирование по скалярному аргументу
1. Посвятим настоящую главу изучению вопросов, связанных с переменными векторами. Начнем с рассмотрения того случая, когда независимой переменной является - скалярный аргумент t. Например, в механике, чаще всего, таким скалярным аргументом является время. Итак, пусть нам задан вектор а (і), изменяющийся аместе eta представляющий некоторую функцию I. Отметим, что задание функции a (t) эквивалентно заданию трех скалярных функций от t: ах (г), Ov (t), аг (г), ибо
a U) = ах(г) і + Ov (t) j + az (г) k (1)
Мы будем всегда предполагать a (?) непрерывной функцией t, т. е. будем считать, что для двух соседних значений аргумента t и t + At разность а (<+ Ді) — а (/) может быть сделана сколь угодно малой при достаточно малом At. В этом случае говорят также, что a (J) есть предел а (t-f-Ді) при Д<, стремящемся к нулю, и записывают это следующим обрззом:
a (t) = Iim а (I + Дг) (2)
Af-Hl
Будем откладывать значения векторз a (?), при различных значениях t, от общего начала О; изменяя і на некотором интервале, мы заставим конец вектора а (/) описать некоторую непрерывную кряаую, которая нззывается годографом вектора а (t).
Итак, годограф вектора есть геометрическое место концов векторов a (J), откладываемых от общего начала О.
2. Чтобы установить понятие о производной вектора а (г), будем поступать как обычно: возьмем два соседних значения аргумента t и и t -4- Дг, найдем соответствующие им значения вектора а (г) и а (і-|-Д<), составим приращение вектора, т. е. разность
Да = а (/ + Д/) — a (t) {на фиг. 39 эта разность представляется вектором AA'). 78
НВКТОРНЫ И АНАЛИЗ
Гл. II
Составим далее отношении
Да a(t + At) — a (t) U7 " M
и перейдем к пределу при At — 0.
Если этот предел существует, то его называют производной вектора a (f) и обозначают
da .
-gj- ила а (г)
Имея в виду, что в механике время постоянно употребляется в качестве независимого скалярного переменного, выгодно производные а
?о времени обозначать сокращенно символом а (<), ставя над вектором точку.
То же применимо конечно и к скалярам:
Ot /
если t — время. Итак,
? = Iim ¦<« + &')-¦(«) (3)
Так например, если взять за а радиус-вектор г некоторой движущейся точки M (г), а за t — время то
Дг = г (< •+¦ Д<) — г (і) будет вектором перемещения за время At,
будет вектором средней скорости за этот промежуток времени и, наконец,
~ = г будет вектором скорости V (О к моменту t,
Гаким образом скорость движущейся точки есть производная ее радиуса-вектора по времена:
V (X) = г (0 (4)
Если мы начертим годограф вектора а (фиг. 39) в отметим концы AaA' векторов а (г) и а (/ At), то частное
a (t + At) - а (О = АА'
M = \1
будет иметь то же паправлАНие, что а хорда годографа AAi. При дг — О ато направление будет стремиться совпасть с направлением касательной к годографу, поэтому
da
направленна производной -г- совпадает с аа-
dt
правлением касательной к годографу вектора a (t). 5 9 ПЕРЕМЕННЫЕ ВВКТОРЬІ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ СКАЛЯРНОГО АРГУМВНТА 79
Очевидно, что производная вектора а (і) есть в свою очередь вектор, зависящий от t, поэтому от него можно взять производную; эта производная называется второй производной вектора а и обозначается
d*a
Так например, производная вектора скорости называется вектором ускорения W (<):
W (t) = V (г) = г (і) (5)
значит, вектор ускорения есть вторая производная радиуса-вектора по времени.
Отметим раз навсегда, что мы будем предполагать все производные, о которых идет речь, существующими и непрерывными.
3. Докажем, что все основные свойства производных сохраняются и для производных векторов.
