Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
бго X a (r0, t0) = 0 (46)
то должно быть
arxa(r, 0 = 0 (47)
Но в силу отличия определителя (42) от нуля, тензор T является полным. Поэтому, условие (46) совершенно эквивалентно такому условию (ибо коллинеарные векторы после преобразования тензором опять переходят в коллинеарные векторы):
Tar0 X Та (r0, О = О
а в силу (45) такому ¦
бгХТа (r„, g = 0 (48)
Итак, из (48) должно следовать (47), иными словами, векторы Та (г0, to) и а (г, г) должны быть коллинеарны.
Мы приходим поэтому к следующему выводу: необходимым а достаточным условием сохраняемости векторных линий вектора а является выполнение равенства
а (г, t) X Та (r0, to) = 0 (49)
Умножая оба вектора на тензор T"1 слева, мы можем переписать равенство (49) в эквивалентной форме
Т_1а (г, i) X а (го, to) = 0 (50)
Смысл равенства (50) заключается, очевидно, в том, что зектор
Ь (г, t) = T-1A (г, f)
сохраняет постоянное направление в пространстве. Но необходимым и достаточным условием для этого является выполнение равенства
^xb = O (51)
как это следует из § 9, формулы (15) и из задачи 80. Заметим теперь, что
rfb _ dT^ а , , т-ida
dt~ dt а Ir' l> + 1 dt
и в силу формулы (13)
rfb dT . ,р-х da
dt = -T Tt7 а + Т Tt Поэтому формула (51) может быть переписана в виде
(Т"1 g - T"15T_la) X (T~ls0= 0 I 28 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРА ПО СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ
или, умножая оба вектора слева на Т, в виде
®-Зт-)х—0
Выясним значение тензора
(52).
^Zt-I dt
Из формулы (44) имеем, по правилу дифференцирования тензора и принимая во внимание формулы (40):
rfT dt '
аъс Фх dhi dvx dvx dvx
da dt дЬ dt de dt da db de
д*у dhf dvy dvy dvy
да dt abdt de dt > SS ' db W
дЪ d»z dv. dvz dvz
да dt дЬ dt da dt di аь Hc
rfv
diо
(53>
J
Заметим далее, что тензор T-1, обратный для тензора Т, имеет, очевидно, значение
m-l__
1 ~ dr ~
da da da
dx dy dz
db db db
dx dy dz
de de de
dx ay dz
(54>
Нетрудно поэтому составить произведение [(TTfdt) T"1. В самом деле, возьмем произвольный бесконечно малый вектор dr, тогда в силу (54) имеем
T-i(ir = dt = dr„ dt 0
Далее в силу (5Б) имеем rfT
Но это означает, что
Отсюда следует, что
dTT_, _ rfv dt ~ dr
^T-I Vrfi - dv
I dx dvx OS 9vx ) Зі I
I = \ dx dvy dy дву I dz ї
! dv2 ( dx dvt dy if? I dz )
(55)
rfT
Теперь нетрудно вычислить, чему равняется вектор Т_1а. лфинныв ортогональный твнзоры
Гл. IIl
А именно по формуле 28 § 24 мы имеем
— a = (a-V)v
>и, следовательно,
- (a-V)v (56)
Условие (52) переписывается теперь в окончательном виде
(f-<a-V)v)xa =O (57)
Так как это условие совершенно эквивалентно условию (49), то мы можем высказать следующую теорему: необходимым и достаточным условием охраняемости векторных линий вектора а является выполнение равенства (57).
Итак, мы получили условие сохраняемости векторных линий в двух -формах: в форме (57), годной для случая обычных независимых переменных X, у, z, і, и в форме (49), пригодной для случая лагранжевых переменных. Это последнее уравнение, будучи выписано в проекциях на .оси координат, имеет, очевидно, следующий вид
aV
дх дх дх ду ду ду dz dz dz
(58)
тде Ox, Ov, аг и аХа> Oy., аи — проекции вектора а в два различных момента времени t и Jo, но для одной и той же частицы.
§ 29. Расхождение тензора. Применение к теории упругости
1. Из дифференциальных операций мы рассмотрим только вопрос о расхождении тензора, которое мы определим по аналогии с расхождением вектора. Итак, допустим, что мы имеем поле тензоров
П (г) = I1P1 (г) + I4Ps (г) + iap3 (г)
Определим в каждой точке поля для каждого направления п вектор
Pn = п.. П = pi cos (n, X1) + рг cos (п. X2) 4- р* cos (и, х3) (1)
Рассмотрим теперь интеграл по замкнутой поверхности S:
фр ndS
а
¦и применим к нему формулу Гаусса —Остроградского:
ф рndS = ф (P1 cos,(», X1) + P3 cos (n, -1- р3 cos (n, .?)} dS =
-Sffi+S+S" ® §29 расхождение тензора
337
Отсюда вытекает, если взять объем V бесконечно малым и считать
opi дрг
Зхі ' ' &S»
непрерывными, существование
ІІШ-у-
V-rt) '
и равенство его вектору, который называется расх ождение тензора П и обозначается через
4
(j) р«<"?
dlvI1 = ^ *у- = й+й+й <3>
Проекциями, этого вектора являются
^1*=? + ? + ?
дх\ дх, ' дх3
(div П).-
дх]
Формула (2) может теперь быть переписана в виде
ф рndS = ^ div 11 dV (5)
S V
Б качестве примера рассмотрим div (фі), где I — единичный тензор:
' <fadS
= +i3S^gradq' (6>
Задача 193. Доказать формулу
div ((рП) — ф div П + gradg«n (7)
2. Выведем основные уравнения равновесия и движения сплошной среды. Мысленно вырежем в последней объем V .(фиг. 85) н, пользуясь обозначениями п. 3 § 22, применим к этому объему шесть необходимых условий равновесия и движения сплошной среды, — именно:
Главный вектор всех сил, приложенных к частицам объема, включая и силы инерции, должен равняться нулю.
