Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
279
чальный момент времени, и мы находим выражение q> (Р, t) через значения ф и д<р/ді в начальный момент времени.
Вводя сферические координаты г, 9, ф, с центром в точке P и замечая еще, что направление нормали п совпадает с направлением г, найдем, что в формуле (90)
dS= Д*8т 0<йЫф = R* da, [g] = °>
__1_ 1 [йф-| дг __ 1 fdqlJj, 6, t)\
дп г — R1' cr[dt]dn~ сЯ\ rFt ~Л=о
и, следовательно,
ф (Р, о = ^AM +ф (A. 8, Ф, 0) ч- f © J*
Отсюда получаем искомое выражение
ф о = к\ш [Л й* <Л' 0' Н + г й(SLde) т
11. В заключение этого параграфа рассмотрим вкратце основные уравнения теории электромагнитного поля.
При рассмотрении электростатического поля уже введен вектор электрической силы E и была указана его связь с плотностью р электрических зарядов
div E = 4яр (99)
При рассмотрении электромагнитных явлений наряду с вектором E вводится вектор магнитной силы Н, дающий по величине и направлению ту силу, которая подействовала бы на единицу магнитной массы, если ее поместить в рассматриваемую точку пространства. При этом, однако, принимают, что
div H = 0 (100)
ибо, как учит опыт, нельзя отделить положительные магнитные заряды от отрицательных и в каждом куске какого-либо тела полное количество магнетизма равно нулю.
При рассмотрении переменных электрических и магнитных полей обнаруживается тот основной факт, что изменение магнитного поля вызывает электрическое поле и обратно, изменение электрического поля вызывает магнитное поле. Количественные выражения этих фактов даются уравнениями Максвелла. Последние представляют собою обобщение двух основных экспериментальных законов электромагнетизма: закона Био-Савара и закона индукции.
Мы уже упоминали о законе Био-Савара, когда рассматривали поле вихревой нити в § 20, п. 5. Мы видели, что если интенсивность вихревой
вити L равна Г, то вызываемое этой вихревой нитью поле будет
— <«*>
L 280
векторный анализ
Гл. TI
причем циркуляция вектора а по контуру охватывающему один, рае в надлежащем направлении кривую L, равна как раз Г
<§>a.tfr=r (102)
к
Но по закону Био-Савара, если мы имеем ток силою J, текущий по проводнику L, то он производит в окружающем пространстве магнитное поле, определяемое (в правой системе координат) по формуле
H = ^ § (103)
l
где с — универсальная постоянная, появляющаяся в силу того, что J и H измеряются в разных единицах.
Но тогда из формул (101) и (102) ясно, что если мы заставим единицу магнитной массы обойти контур К, охватывающий один раз в положительном направлении проводник L1 то работа силы H будет равна
(104)
к
Формула (104) представляет просто другую формулировку закона Био-Савара. Ее можно обобщить еще больше, если представить себе, что электрические токи имеются во всем пространстве.
Если рассматривать только покоящиеся тела, то, по Максвеллу, электрический ток надо составлять из двух частей. Первая часть получается в результате обобщения вакона Ома, по которому плотность тока, т. е. количество электричества, протекающее через единицу поперечного сечения проводника, пропорционально падению потенциала на единицу длины, т. е. пропорционально электрической силе Е. Итак
і = оЕ (105)
где і — вектор плотности тока, а о — коэффициент пропорциональности, называемый удельной электропроводностью. Если поверхность, опирающуюся на контур К, обозначить черев S, то количество электричества^ протекающее через S, будет, очевидно, равно
J i„dS = \vEndS (106)
S S
Но, по Максвеллу, чтобы получить J, нужно прибавить к предыдущему выражению еще так вазываемый ток смещения, который образуется во всех тех случаях, когда меняется электрическое поле, и представляется по величине и направлению вектором
дЕ 4л dt j 21 ггнркменные поля в сплошной среде 281
Поэтому
/ = Jo^iS +S-J2St & (107)-
н уравнение (104) принимает вид
ф H. dr= -І- [ (4яа?„ + 2?-) dS (108),
К S
Применяя формулу Стокса, можем написать
5 rot„ H dS = -J- \ +
s s
Отсюда, в силу полной произвольности выбора поверхности S, следует первое уравнение Максвелла:
«tH-^E+^f (109)
Второе уравнение Максвелла получается из обобщенного закона индукции Фарадея, по которому при изменении магнитного поля в каждом проводнике возникает электродвижущая сила, пропорциональная скорости изменения магнитного потока через поверхность, охватываемую этим« проводником. Математически закон индукции выражается уравнением
фЕ-dr= -J-I^HJS (110>
к s
Применяя его к любому контуру К и опять пользуясь формулой Стокса, получим
$Г01„ EdS^ —LI С HndS
S s
откуда вытекает второе уравнение Максвелла:
Перепишем еще раз все полученные уравнения, причем предположим' еще, для простоты, что плотность электрических зарядов р равна нулю
(I12)
a с at у '
rofcE = -T§ <113>
div E = 0 (114)
div H = 0 (115)
Покажем прежде всего, что для векторов E и H можно получить независимые и притом совершенно одинаковые уравнения. 282
векторный анализ
Гл. TI
В самом деле, дифференцируя (112) по времени и беря от (ИЗ) операцию rot, найдем, считая а и с постоянными числами,
