Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Действием, обратным геометрическому сложению, является, помимо геометрического вычитания, еще геометрическое разложение, состоящее в том, что данный вектор заменяют равной ему суммой нескольких векторов. Геометрически это сводится к построению ломаной линии, имеющей данный вектор замыкающей стороной. Очевидно, задача в таком виде имеет неопределенный характер и надо наложить на геометрические слагаемые ряд условий, чтобы сделать задачу определенной.
Важнейшие случаи разложения мы сейчас и рассмотрим, но предварительно остановимся на вопросе об умножении вектора на скаляр.
4. Пусть мы имеем вектор а; умножить его на целое положительное число т — значит сложить между собою т векторов, равных а; в результате, очевидно, получится вектор Ь, имеющий то же направление, что и а, но по длине в т раз больший:
Ъ = ma = am, Ъ = та (8)
Отсюда можно вывести, что при всяком положительном т мы должны принимать за вектор та вектор длины та, имеющий то же направление, что и а.
Раньше мы уже определили умножение вектора а на — 1; это есть вектор, противоположный а; поэтому при умножении а на отрицательное число т мы получаем вектор длины | т \ а, параллельный а, но имеющий противоположное направление.
Из этих определений непосредственно вытекает справедливость следующих формул:
(т + п) a = ma + па (9)
т (па) = (тп) а = л (та) (10)
Если умножить два вектора а и Ь на m и потом сложить, то получится результат, одинаковый с тем, который мы получили бы, если бы сначала сложили а и Ь, а потом умножили на т:
ma + mb = m (a + b) (11)
В этом выражается дистрибутивный (распределительный) закон умножения вектора на скаляр: скобки можно раскрывать, как в обыкновенной алгебре. Для доказательства достаточно представить себе геометрический смысл уравнения (11), которое выражает, что если мы изменим на фиг. 2 стороны ДABC в отношении т, то из полученных векторов составится новый треугольник, подобный данному.
Формула (11), очевидно, справедлива и для нескольких векторов
Tna1 + дга8 + . . . + ота„ = m (ах 4- я^ + . . . + aj
(12) 12
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
5. Только что рассмотренные нами векторы а и Ь:
Ь = яга (13)
параллельны между собой; такие векторы называются, также кол ли неарными.
Обратно, всякий вектор Ъ может быть выражен через коллинеарный вектор а по формуле (13), где т — скалярный множитель, представляющий отношение длин векторов b и а, взятое со знаком плюс или минус, смотря по тому, имеют ли векторы а и Ь одинаковое направление или как раз противоположное.
Особенно важен частный случай, когда один из коллинеарных векторов имеет длину, равную единице. Такие векторы называются единичными векторами или ортами. Орт вектора а часто обозначают через а1г указывая значком 1, что вектор Z1 есть единичный. Тогда для всякого вектора а будем иметь:
a = Oa1 (14)
В формуле (14) разделены два элемента, характеризующие вектор: его длина а и его направление at.
6. Если векторы а и b не коллинеарны, то вектор
с = ma + пЬ (15)
параллелен плоскости, определяемой векторами а и Ъ, ибо геометре» ческая сумма векторов, лежащих в одной плоскости, лежит в той же плоскости.
В этом случае говорят, что векторы а, Ьис компланарны, т. е. параллельны одной плоскости.
Обратно, всякий вектор с, компланарный двум неколлинеарным векторам а и Ъ, может быть представлен формулой (15). Для доказательства отложим все три вектора a, b и с от общего начала О (фиг. 7) и проведем через конец С вектора с прямые CD и СЕ, параллельные векторам а и Ь; тогда е представится как геометрическая сумма двух векторов, кол линеарных соответственно векторам а и Ь, т. е. равных та и пЬ. В результате получается разложение (15). Это разложение единственное, так как если бы мы имели два разложения:
с = та + пЬ
с = т'а + и'Ъ
то, вычитая нижнее равенство из верхнего, мы получили бы
О = (т — т') а + (п — п') b (Ifi)
Отсюда непременно
т — т! = 0, п — п' — О СЛОЖВНИЕ, ВЫЧИТАНИИ И РАЗЛОЖЕНИЕ ВИКТОРОВ
13
т. е. т = т', п — я'. В самом деле, если бы, например, т — т ф 0, то, решая уравнение (16) относительно а, мы нашлн бы
т. е. а был бы коллинеарен с Ь, что противоречит предположению. Итан, разложение (15) единственно.
7. Если три вентора a, b и с не номпланарны, то всякий вентор d может быть представлен в форме
d = та 4- лЬ + ре
(17)
т. е. разложен на три составляющие, параллельные соответственно венто-рам a, b и с.
Для доказательства отложим все четыре вектора а, Ь, с, d от общего начала О (фиг. 8) и проведем через конец D вектора d плоскости, параллельные граням трехгранного угла,
образованного векторами a, b и с, _ _
тогда d представится как сумма трех венторов (например OK, OL, ОМ), коллинеарных соответственно венторам a, b и с, т. е. равных та, пЬ я рс, В результате получается разложение (17). Это разложение единственное, тан нак, если бы мы имели два разложения:
d = та + nb + />с
d = лг'а + »'b + р'в
мы из них получили бы
О = (т — т') а + (л — п') b + (р — р') с
