Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
VgS*?t
являются составляющими ковариантного тензора третьего ранга, который мы обозначим через еafa, а величины
являются составляющими контравариантного тензора третьего ранга, который мы обозначим через е«**. Итак
= Vg Oa0Y, e'»t = -у=- bafit (66)
Оба тензора обозначены одной буквой, ибо из равенства выражений (64) н (65) очевидно, что они являются сопряженными друг другу (один может быть получен из другого понижением или повышением индексов). Можно дать и непосредственное доказательство этому факту:
gii gt і giі
gm gi* gsk
gu gtt Szi
і
1 1
ea^ga.ig?kgyl = Yj-Oa?rgaig?&gyl =
¦ gbiki = Vg Ojkl = tikl
VJ
Теперь формулы (64) и (65) могут быть записаны следующим образом:
Vgv = -^tV = ЄфгА*В*С* = е^ AaBllCy (67)
Пусть теперь нам даны два вектора А" и Ba. Из предыдущей формулы ясно, что мы можем определить формулами
By = ea?rA'B?t W = e*v< AaB^ (68)
ковариантные и контравариантные компоненты некоторого вектора, который естественно назвать векторным произведением 376
элементы обшей теории тензоров
Гл. IV
данных векторов, так как в случае эвклидова пространства он просто совпадает с этим векторным произведением. В самом деле, в случае эвклидова пространства мы можем взнтъ прямолинейные прямоугольные оси координат, при этом окажется g = 1, и формулы (68) примут обычный вид
III = AiBi — A3B2 и т. д.
Конечно, формулы (68) можно писать в различных формах, так, например, можно написать, что
щ = C^iAaBp = АаВ& = (69)
= Yj tea (A3Ba - A3Bi) + git (AiB1 - A1Bs) + giz (A1Bt - AiB1))
§ 33. Дифференциальные уравнения геодезических линий.
Символы Кристоффеля и их свойства
1. Теперь мы переходим в область тензорного анализа. Нашей основной задачей будет являться установление понятия производной тензора. При этом мы должны, согласно общей идее тензорного исчисления, дать такое определение производной тензора, которое имело бы тензорный Характер.
В этом параграфе мы не будем еще заниматься этим вопросом, так как нам необходимо предварительно провести ряд вспомогательных для нашей главной цели рассуждений; но мы хотим уже сейчас выяснить, в чем состоит встречающееся затруднение, которое нам предстоит преодолеть.
Когда мы имеем дело со скалярной функцией точки <р и рассматриваем дифференциал этой функции <&р, соответствующий переходу из точки M в бесконечно близкую точку M', то ясно, что <2<р является инвариантом по отношению к преобразованиям координат.
Допустим теперь, что мы рассматриваем поле ковариантного вектора Ai. так что Ai являются функциями точки. На первый взгляд, кааалось бы, что за дифференциал вектора следует веять вектор, имеющий ковариант-ными составляющими dAt. Но вся трудность заключается в том, что величины dA{ не могут являться ковариантными составляющими, так как они не преобразуются по формулам для ковариантных векторов. В самом деле, мы имеем по правилу составления полного дифференциала
д А.
dAi = —jrdx'< (1)
ах
Но величины Ai являются составляющими ковариантного вектора и следовательно, нри переходе к новой системе координат ж1,..., хп мы будем иметь
-г j ахл дифференциальные уравнения геодезических линии 377
Составим теперь дифференциал
Ъ = ^dAa +Ajg-g^+A. -Jgr^* (3)
Если бы величины dAa были составляющими ковариантного вектора, то формулы преобразования имели бы вид
dAi — —=T- dA„
дх
Это будет в том случае, если
при всех значках а, і, к, т. е. если ж® являются линейными функциями от Xі. В случае афинных ортогональных тензоров мы имеем как раз такой случай, вот почему мы не встретили там того затруднения, которое получается теперь.
Итак, в общем тензорном исчислении, в силу отличия от нуля
SV1
Й?
величины dAa. ие носят тензорного характера. Совершенно естественно возникает вопрос, как подправить эти величины с тем, чтобы вновь вернуть им тензорный характер. Решение этого вопроса, правда не в самой общей форме, будет дано в следующем параграфе.
Для решения указанного вопроса нам понадобятся, в качестве вспомогательного орудия, дифференциальные уравнения геодезических линий в рассматриваемом нами р г мановом пространстве Rn.
2. Дадим сначала определение геодезической линии в пространстве Rn. Рассмотрим какую-нибудь линию L в этом пространстве, уравнениями - которой в параметрическом виде пусть служат
X1 = 3* (t), Xs = X2 ((), ¦ ¦ - , Xn = Xn (г) (4)
Возьмем на этой линии две точки Mo и Afi и пусть значения параметра t, соответствующие этим точкам, будут to и ti. Вычислим длину I отрезка кривой L между точками Mo и Mi. Принимая во внимание, что (Ist определяется основной формой
ds2 = g^dx^dx" (5)
и обозначая производные по параметру t для краткости точкой, будем иметь, что
ds = Vg^dt (6)
и, следовательно,
Ij Ii _
I = J dS = J YgikXiXbdt (7) 378
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
Линия, длина отрезка которой, расположенного между двумя произвольными достаточно близкими ее точками, меньше длины любой другой соседней кривой, соединяющей те же точки, называется геодезической. Установим уравнение, которому должны удовлетворять геодезические линии. Пусть La есть геодезическая линия; удобнее всего за параметр t взять дугу s линии Lo, отсчитанную от точки Mo, и пусть значение S для точки Mi будет равно la. Координаты точек кривой L0 будут функциями от s:
