Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
X8 — X2 (pii + рга + рая) + (13)
. \ рп ргі рзі
I Pas I Pa8
р 92
ряя
' + Pll pal + Pu pai
різ рзз pit ptt
I"
/>12 piЙ
/>23
рт
ряг ряя
= О
Мы знаем, что корни этого уравнении Xi, X3 и Хз не должны зависеть от выбора координатной системы. С другой стороны, известны соотношения между корнями и коэффициентами уравнения:
Ii *= рп -+¦ ptг + ряй = Xi + Xa + Хз
/а
I» =
P 22 рп» pat раз J
рп
/>21
раї
pit Pit pat
+
pia pas рзз
pu раї \ рій раа
+
/>п І Pla
/>21 ргг \
— XiXa XiXs + XaXs
(14)
ХіХаХз
Поэтому величины Ii1 Is я Ia пе изменяются при преобразовании координат. Этн величины называются инвариантами тензора. При помощи этнх инвариантов мы можем составить бесчисленное множество других инвариантов. Так, например, инвариантом является величина
Ii2—21а—Piti + />saB+/>3344-2/>i2/>2i-t-2pa3/>32-|-2/>ai/>i3=
= Х^+ХгЗ+Хз3 (15)
Составляя инвариант Ii для производного тензора д? , мы получим по формуле (22) § 24
доя
Ali да% vug_div а
ftfl дхд
(16)
Таким образом, рассмотрение тензораda/dr привело нас к (у-V) * rot а и div а, т. е. ко всем основным дифференциальным операциям векторного анализа.
Те тензоры, у которых инвариант Z1 обращается в нуль, называются девнаторами. Покажем, как можно нз любого тензора П получить девнатор. Для этого достаточно, введя обозначение
а = Ii = />іі Л- ptt + P33
рассмотреть новый тензор
П' = П — -LetI
У этого тензора диагональными элементами будут величины 111
(17)
рп -тос, сумма которых равна нулю.
раа — Ya'
pss —j а главные оси тензора
323
Образуем еще инвариант /і для тензора П = AB, являющегося произведением двух тензоров А и В. Для определения этого тензора мы имели формулы (5) § 25:
з
Ptl = 2 aHrbri (к, I = 1,2, 3) (18)
г™ 1
поэтому инвариантом h для тензора П будет выражение
з з
2 2«*А*
которое целесообразно назвать бискалярным произведением тензоров АиВ. Мы будем обозначать его через
з з
а--В=2 2**А* (19)
При B=A выражение (19) делается аналогичным (15). Задача 187. Вычислить инварианты дли диады ab. Ответ, /і = а-Ь, /а = 0, /а = 0.
Задача 188. Вычислить инварианты для антисимметричного тензора, которому соответствует вектор (О.
Ответ, /i = 0, It = о»2, /з = 0.
Задача 189. Показать, что если а, Ь, о — три некомпланарных вектора и
Па = а', ПЬ = Ь', Пс = о',
но
/, mi - а'-<ь'хе'>
7s(U)_ а.(Ьхс)
Г /тт\ _ X С) + Ь.(С' X a-) + с.(а' X Ь')
/а (11) --a.(b X с)--{ZU>
T /m _ а'»(Ь Xe) + Ь'-(с X а) +с'.(а X Ь) --а.(Ь X о)
Решение. Пусть вектор г = аа ?b + Yc имеет главное направ-ление, тогда Пг = Xr, где X — главное значение, т. е.
П (аа + ?b + ?с) = X (аа + ?b ус)
или
аа' + ?b' + YO' = X (аа + ?b + ус)
или
a (a' - Ха) -|- ? (b' - Xb) + т (e' - Xe) = О
Таким обравом, три вектора
а' — Ха, b' — Xb, с' — Xc компланарны, что может быть только, если
(а' — Ха). [(b' — ХЬ)х(с' — Xc)] = О
21* 424
афинные ортогональные тензоры
ГЛ. Tll
Раскрывай это векторно-скалярное произведение, получим уравнение третьей степеня от X:
а'.(Ь'хс') - х{а.(ь'хс') + а'.(Ьхс') + а'.(Ь'хе)} + -І- Xа {а'.(Ьхс) + а-(Ь'хс) + а.(Ьхс')} - Х*а.(Ьхс) = О
сравнивая последнее с уравнениями (13) и (14), получим требуемые в задаче выражения.
Задача 190. Показать, что если П = ^p1 + цр2 + I3Ps, то
h = VPi + VPs + VPa
h — Ч-(РгХРз) + V (PsXP1) + i3" (PiXP2) (21)
/з = Pi-(P2XPs)
Задача 191. Показать, что если инварианты тензора П суть Ii, Iа, /з, то тензор П удовлетворяет уравнению
П» — I1W + /2П - IaI = 0 (22)
Решение. Пусть П = I1P1 -I- I2P2 -I- I3Pa = Pi Ч -+- р2і2 -|- р3'з Будем исходить из тождества задачи 176
а (Ьхс) -ЬЬ(сха) -|-с(ахЬ)= [а-(Ьхс)]1 (23)
черного, как указано в задаче 177, для любых трех векторов а, Ь, с. Заметим, что это тождество можно представить в следующей форме
(aii -I- Ьі2 + ci3). Ei1 (Ьхс) + i2 (сха) + i3 (axb)] = (а.(Ьхс)И (24)
ибо по формуле (10) § 25 левые части формул (23) в (24) тождественны между собою. Обозначав теперь через X произвольный параметр, положим
a = P1 — Xi1, Ь = р2 — Xl2, с = ps — Xi3 и заметим, что при этих обозначениях
aij + big -I- ci3 = P1I1 + pai2 + p3i3 — Xiiii — Xi2I2 — XiaI3 = П — XI (Ьхс) -І- і2 (сха) -І- і3 (ах Ь) = K0 + XKi + X3Ka где K0, K1, K2 — некоторые тензоры; наконец
Pu — X р21 р31
а*(Ьхс) = Pi2 раа—Х P32
Pis Раз Раз — X
= D (П — XI) = I3 — XZ2 + X2Z1 - Xа Мы видим, что формула (24) приводит нас к следующему тождеству (П - XI).(Kft 4- XK1 + XsK2) = (I3 -XZ2 + XaZ1 - Xі) I
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X в обеих частях этого тождества, находим равенства,
ПК0 = Z3I, ПК4 - K0 = - Z2I, ПК2 - K1 = Z1I1 - K2 = - I § 28 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРА HO СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ
328*
Умножая обе части этих равенств слева соответственно на І, ГІ, Па, П8, получим
ПК0 = Z3I, IT1K1 — ПК0 = - /2П
П«К2 - П4К, = Z1IF1 - П»К2 = - П3
При сложении этих равенств, все члены, стоящие слева, сократятся и мы получим
