Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 165. Показать, что если P1, р2, р3 и qj, q2, q3 — две тройки некомпланарных векторов, то диада P^1 есть линейный тензор, сумма двух диад Pjqi + p»q2 есть пленарный тензор, а сумма трех диад РіЧі + Ра% "Ь РаЧз 'есть полный тензор.
Задача 166. Показать, что, обратно, полный тензор всегда может быть представлен в виде суммы трех диад, но не может быть представлен суммой двух диад.
Задача 167. Показать, что пленарный тензор можно представить в виде суммы двух диад, но нельзя представить одной диадой.
Задача 168. Показать, что линейный тензор может быть представлен одной диадой.
Задача 169. Если П — тензор, г н г' — радиусы-векторы, то преобразование г' = П.г можно рассматривать, как преобразование пространства. Выяснить, в чем состоит это преобразование для следующих тензоров П:
1) П = аі (а — положительное число),
2) П = I + aa,
3) П = 2пп — I, где d — единичный вектор,
4) П = I 4- ab, где вектор b перпендикулярен вектору а,
5) П = I1rI1 + I2rI2 + is'ia, где I1, i2, i„ и I1', ia', i3' — две тройки взаимно перпендикулярных единичных векторов.
Ответ. 1) Преобразование подобия; 2) растяжение в направлении вектора а; 3) поворот около осип на 180°; 4) сдвиг плоскостей Ь«г — const параллельно направлению вектора а; 5) поворот пространства, при котором оси I11 i2, ig переходят в оси I1', I2', i3', сопровождаемый зеркальным отражением пространства, если ориентация осей I1', i2', I3' отлична от ориентации осей ils i2, i3.
Задача 170. Дана линейная векторная функция
г' = ах(Ьхг) = П-г
При каких условиях тензор П будет симметричным?
Ответ. При условии, что а и b коллинеарны.
90 н. Е. Кочан афинные ортогональные тензоры
Гл UI
Задача 171. Для того чтобы тензор П был антисимметричным, необходимо и достаточно, чтобы для любого вектора а выполнялось равенство
а-(Iba) = О
Доказать это.
Задача 772. Показать, что кинетическую энергию T твердого тела, вращающегося около неподвижной точки, можно выразить формулой
T = -i-w.(•/•«)
где J — теизор моментов инерции, w — вектор угловой скорости.
Задача 173. Дан тензор П. Разложим его на симметричную и антисимметричную части п обозначим через ш вектор — соответствующий антисимметричной части. Доказать формулу
и.(П.у) — у.(П'и) = — 2ffl-(uxv)
где UHV — любые векторы. Задача 174. Доказать, что
. (ахП)е = — (Псха)
Задача 175. Найти представление в виде суммы трех диад тензора П, преобразующего три некомпланарных вектора а, Ь, с в три данных вектора р, q, г, т. е. тензора П такого, что Па = р, ПЬ = q, IIc = г.
P е ш е в в е. Обозначим через а*, Ь*, с* тройку векторов, взаимных с системой векторов а, Ь, с (см. § 8). Тогда, очевидно, будет
П = pa* + qb* -Ь гс*
В самом деле, принимая во внимание формулы (19) § 8, легко убедиться, что этот тензор удовлетворяет всем поставленным условиям. С другой стороны, ясно, что может быть только один тензор, удовлетворяющий требованиям задачи, так как если бы существовало два различных тензора Пі и Па, дающих решение задачи, то тензор Ф = Пі — ГІа удовлетворял бы условиям
Фа = ФЬ = Фс = О
и, следовательно, не мог бы быть отличным от нуля.
Задача 176. Доказать, что а, Ь, с — три яекомоланарных вектора, то имеет место тождество
аа* H- ЬЬ** + сс* = I
или, что то же,
а (Ьхс) + b (сха) + с (ах b) = [a.(bxc)] I
Задача 177. Тождество предыдущей задачи, в силу непрерывности, должно остаться тождеством и для компланарных векторов а, Ь, с. Исходя отсюда и предполагая, что векторы а, Ь, с обладают тем свойством, что из них может быть образован заткнутый треугольник, доказать теорему спнусов плоской тригонометрии. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТЕНЗОРОВ
307
§ 25. Произведение тензоров
1. В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о перемножении тензоров. Пусть мы имеем тензор Л с элементами а4( и тензор В с элементами ЬН1. Мы сейчас постараемся дать определение произведения тензора А на тензор В.
К этому определению естественнее всего подойти, исходя из данного нами в предыдущем параграфе определения тензора, как оператора. В самом деле, рассмотрим какой-нибудь вектор с и преобразуем его при помощи тензора В, т. е. образуем скалярное произведение тензора В на вектор с, в результате мы получим новый вектор с':
с' = В.с = Bc (1)
Преобразуем теперь полученный вектор с' при помощи тензора А, т. е. образуем скалярное произведение тензора А на вектор с'; в результате мы получим вектор с":
с" = А-с' = A-Bc = ABc (2)
В окончательном результате мы получаем преобразование вектора с в вектор с*. Это преобразование осуществляется при помощи некоторого тензора П:
с* = П-с = Пс (3)
Сравнивая это выражение с предыдущим, мы, естественно, приходим к мысли назвать тензор П скалярным произведением тензоров Ан Вик тому, чтобы обозначить его через
П = A-B = AB (4)
Найдем теперь выражение компонентов ркі тензора П через компоненты ак1 и Ьк! тензоров А и В.
Если составляющие векторов с, с', с" обозначим, как обычно, через ск> с*'> С»"' то ИЗ формулы (1) будем иметь
