Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда
(a X b)x = a,jbz — azbv
(a X b)„ = azbx — aj>z (18)
(axb)i = aj)v — aj/x
Укажем, как непосредственное приложение этих формул, вывод условий параллельности двух векторов а и Ь, заданных своими соста- S
6
ВЕКТОРНОЕ ИЛИ ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
51
йляющими. В этом случае axb = 0, приравнивая составляющие этого вектора нулю, получим:
т. е. соответствующие составляющие двух параллельных векторов пропорциональны.
Этот результат, впрочем, ясен и из того обстоятельства, что в силу коллинеарности векторов а и b один из них выражается произведением другого на скалярный множитель: b = Xa, откуда
что равносильно (19).
Из формул (18) можно вывести, далее, ряд соотношений, связывающих косинусы углов, составляемых осями двух прямоугольных систем координат (фнг. 20). В самом деле, возьмем, например, за вектор а орт і, а за вектор b орт j, тогда вектором axb будет служить к, если новая система Oxyz ориентирована так же, как старая, и — к, если новая система будет ориентирована противоположно старой.
Выписывая из таблицы девяти косинусов § 4 компоненты векторов І, j, к и подставляя их в формулы (18), мы найдем:
где верхний знак берется при одинаковой ориентации старых и новых осей, нижний — при разной. Циклической перестановкой значков 1, 2 и 3 мы можем получить еще шесть новых формул.
Составим таблицу важнейших свойств векторного произведения.
1) axb = с, с= aft sin (a, b), c_La, c_Lb, вращение от а к b вокруг с таково же, как вращение от оси х к оси у вокруг оси z
(19)
bx = by = %uyt Ъг — Xaj
•г
?iYa — ?aYi = ± я3 Yia2 — Ya«i = ± ?s ai,3> — a3?i = zfc Yo
(20)
(определение)
2)
3)
4)
b X а = — axb axb =0, если a = 0 или b = 0 или а || b аха = 0
7П ті т п
2 агх 2 ь, = 2 2 arxb,
Г=1 S=I I-IS=I
6)
та X ftb = тп (а хЬ)
7) В !ШТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл- I
7. Прежде чем иллюстрировать теорию примерами, мы остановимся на одном свойстве векторного произведения.
В сущности представление некторпого произведения вектором чисто условно; гораздо естественнее было бы изображать его площадкой, например, параллелограммом, построенным на векторах а и Ь, имеющим определенное направление обхода в зависимости от порядка сомножителей. Однако для целей векторного анализа гораздо удобнее оперировать •с вектором, представляющим эту площадку и являющимся как бы ее дополнением в нашем трехмерном пространстве.
Такие векторы, связанные с направление,« некоторого обхода, называются аксиальными, осевыми, или п с е в д о в е к то р а м и.
К числу их принадлежит, помимо вектора, представляющего площадку, и по мл мо векторного произведения двух обыкновенных или, как пх обычно называют, поля рвы: векторов, еще, например, угловая скорость вращения твердого тела, которую можно представлять вектором, направленным по оси вращения в ту илл другую сторону в зависимости от наличия обхода вокруг оси в ту или другую сторону (отсюда название аксиальный, или осевой, вектор).
Полярными же векторами являются, например, перемещение, скорость, ускорение, сила.
Природу того или другого механического вектора можно узнать по следующему правилу.
Отразим явление в плоскости, перпендикулярной к рассматриваемому вектору; если при этом паправление, в котором протекает явление, изменится на обратпое, то вектор есть полярный; если же направление явления останется прежним, го мы имеем дело с аксиальным вектором. Так, отражая зекторное произведение двух полярных векторов в плоскости составляющих векторов, мы последние, очевидно,пе изменим, явление не изменится, следовательно, векторное произведение двух полярных векторов есть вектор аксиальный.
В качестве другого примера рассмотрим вращение твердого тела вокруг оси.
Отражая явление вращения п плоскости, перпендикулярной оси вращения, увидим, что вращение будет происходить опять в ту Я5Є самую сторону, поэтому вектор угловой скорости мы должны считать вектором аксиальным. Напротив, отражая вектор скорости точки в перпендикулярной к нему плоскости, мы увидим, что точка будет двигаться в обратную сторону, следовательно, вектор скорости есть полярный вектор.
Когда мы имеем дело с координатным представлением, то различие между полярными и аксиальными векторами сказывается в том, что при зеркальном отображении в одной из координатных плоскостей, например yz, т. е. при переходе от одной прямолинейной прямоугольной «истемы к другой но формулам
г = — X, у = у, ' — г (21) НВТСТ0РП0Е ИЛИ ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
53
составляющие полярного вектора преобразуются как координаты по формулам
ах--aX' ау - aV aZ = «, (22)
в то время как составляющие аксиального вектора меняют еще свой знак; так, например, вычислим составляющие векторного произведения axb двух полярных векторов. По условию
Поэтому
(а X b)- ~ - a-b- = аЬг - aby = (ах Ь)х
(аX b)- = -а-Ь-г = - aby + ахЬг = - (ах Ь)ц (23)
(а X Ь)- = а-Ь^ - a-b- = - aby + aybx = - (ах Ь)?
Точно так же, если мы произведем инверсию координатных осей, т. е. преобразование
