Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Нам нужно выразить, что расстояние точек цилиндра до оси равно р. Составим векторное произведение u х г; величина этого вектора есть 1 • г ¦ sin (и, г), т. е. как раз р, следовательно, искомое уравнение есть
(и X г)г —р4
Проще всего взять такую систему координат, чтобы ось цилиндра пошла по оси z, тогда u = к и так как
(kx г)* = — у, (кXr)„ = X, (кх r)2 = О
уравнение цилиндра принимает простой вид х2 у1 — Pi-
Задача 52. Найти величину площади параллелограмма, сторонами которого являются векторы а = і — 2 j + 4k и b = Зі + j — 2k. Ответ. 7 УЬ.
Задача 53. Найти вектор, лежащий в плоскости yz, имеющий длину, равную 10, и перпендикулярный к вектору a = 2i — 4j + 3k. Ответ. ± (6j + 8k).
Задача 54. Найти длину р перпендикуляра, опущенного ив начала
координат на прямую (г — T1) х а =0.
Ответ, р = Lu>u!. r а
Задача 55. Найти главный вектор R и главный момент L0 относительно начала координат О системы сил, представленных последовательными сторонами плоского многоугольника, если вектор площади этого многоугольника есть S. О т в е т. R = 0, L0 = 2S. I 7 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ 59
§ 7. Произведения трех векторов. Их свойства
1. Перейдем к вопросу о перемножении трех векторов a, b и с. В силу двойственности понятия умножения, из векторов а, Ь и с можно составить несколько произведений разного рода. Чтобы составить из а, Ь, с произведение, мы должны сначала перемножить два вектора, а потом полученный результат помножить на третий вектор. Если мы перемножим первые два вектора, например b и с, скалярно, то произведение будет скаляром Ь-с, который нужно затем умножить на вектор а, в результате получится вектор а (Ь-с), коллинеарный с а. Такого же типа будут произведения b (а-с) и с (а-Ь).
Пусть b множится на с векторно; вектор а можно умножить на полученное произведение Ьхс или скалярно, или векторно. В результате получаются две величины а»(Ьхс) и ах (Ьхс), первая из которых есть скаляр и может быть названа векторно-скалярным произведением; вторая же величина есть вектор и называется двойным векторным произведением векторов a, b и с.
2. Начнем с выяснения геометрического значения векторно-скалярного произведения а-(Ьхс). Выберем основную систему координат определенного вида, например левую. Применим формулу (4) § 5, по которой скалярное произведение двух векторов равно произведению из величины одного вектора на проекцию другого вектора на направление первого.
В нашем случае величина вектора Ьхс равна площади параллелограмма, построенного на векторах b и с. Чтобы найти, чему равна проекция вектора а на направление Ьхс, построим на векторах а, Ь, с параллелепипед (фиг. 36).
Направление Ьхс есть направление перпендикуляра к грани с ребрами Ь и с, поэтому проекция а на это направление равна высоте h параллелепипеда, опущенной на грань Ь, с и взятой со знаком плюс, если ребра а, Ь и с образуют левую систему (потому что в этом случае угол между а и направлением Ьхс острый), и со знаком минус, если а, Ь и с образуют правую систему (в этом случае угол между а я Ьхс тупой).
Так как произведение площади грани с ребрами Ь и с на высоту, опущенную на эту грань, равно объему параллелепипеда », то мы получаем замечательную формулу:
а'(Ьхс) = ±s (1)
где нужно брать знак плюс, если векторы а, Ь и с образуют левую систему, и знак минус, если векторы а, Ь и с дают правую систему.
Если бы мы взяли за основную — правую систему координат, то совершенно аналогичными рассуждениями мы пришли бы к заключению, №
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕВРА
Гл- І
что в формуле (1) вадо брать знак плюс, если векторы а, Iii с образуют правую систему, и знак минус в противном случае.
Поэтому получается общее заключение: если векторы a, b и с образуют систему, одноименную с основной, то в формуле (1) надо брать знак плюс; если же система векторов a, b и с разноименна с основной, то в формуле (1) надо брать знак минус.
Из этой формулы сразу вытекает следующее следствие:
a-(bxc) = Ь.(сха) = е-(ахЬ) (2)
т. е. при циклической перестановке векторов (замена а на b, b на с, с на а) векторно-скалярное произведение не меняется. В самом деле, »ели а, Ь, с образуют, например, левую систему, то, как легко видеть, векторы Ь, с, а тоже будут образовывать левую систему.
При перестановке только двух векторов иа числа трех левая система переходит в правую или наоборот; поэтому векторно-лкалярное произведение меняет знак:
a-(cxb) = Ь.(ахс) =с(Ьха) = — а (Ьхс) (3)
При компланарности трех векторов а, Ь, с объем параллелепипеда обращается в нуль, поэтому
а-(Ьхс)=0 (4)
(а компланарно с b и с).
В частности, если два из векторов а, Ь, с равны между собой, векторно-скалярное произведение обращается в нуль.
Обратно, при выполнении равенства (4) объем параллелепипеда равен нулю, а поэтому или один из векторов равен нулю, или два из них коллинеарны или же они компланарны.
3. Чтобы найти выражение а«(Ьхс) через составляющие векторов а, Ь, с, заметим, что из свойств скалярного и векторного произведений вытекает дистрибутивность векторно-скалярного произведения, выражающаяся формулами:
