Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Из формулы (2) непосредственно следует, что прн перестановке первых двух индексов составляющие тензора Римана-Кристоффеля мешпот свой знак:
д2.=,-я2. (5)
в частности,
RK\V. = О (6)
Столь же непосредственно, простым вычислением по формуле (2), можно установить интересное свойство циклической симметрии относительно трех ковариантных значков, выражающееся формулой
R'iX + І&?; + RVi Z = O (7)
Понижая у тензора Римана-Кристоффеля значок v, получим кова-риантные составляющие этого тензора
Ria* — — гЛл. (8)
из которых можем опять восстановить смешанные составляющие обычным способом
= г Яш? (9)
Дадим аналогичные формулам (2) выражения для ковариантных составляющих тензора Римана-Крнстоффеля. Так как
э ten,rD г ^1Lv . \ дх* Эх1 ) дх* дх1 и дх*
rL Sj^ = _ 3Jj^ _ Пі 4- Г,, («) 4- TL (Г,. ., + Г,. wi>
дх дх ох
то из формулы (2) следует, после простых сокращений, что
"У.* alV.
дх* дх'
Rix,, = a* RZZ + r^-* (10)
27 в. н. Кочив 414
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
Вспоминая выражения (22) § 33 для символов Кристоффеля первого рода, можем еще написать, что
R - 1 я. )
2 )ax*dxx дх*дх* дх'дх* Эх1Эх»( —
— Г" г„ , Xi Гр, (LX + ХхГр> (!І (11)
Отсюда видно, что составляющие тензора Римана-Кристоффеля зависят от вторых производных от составляющих фундаментального тензора линейным образом.
Из формул (10) и (И) можно вывести еще ряд свойств симметрии тензора Римана-Кристоффеля. А именно из формулы (11) видно, что как при перестановке первых двух индексов і и х, так и при перестановке последних индексов X и |х, составляющие тензора (11) меняют свой знак:
•?lxXp. — --й*іХ|і (12)
-?ixX|i. = — AixiiA (13)
Следующим свойством симметрии составляющих RixXv. является их неизменность при перестановке первой пары индексов со второй; это свойство выражается формулой-
Hixxv, — Кцііх (14)
и непосредственно проверяется по формуле (11).
Наконец, понижая в равенстве (7) значок v, мы приходим к свойству циклической симметрии относительно трех ковариантных значков, выражающемуся формулой
-Дыхц + ^xXi11 4-Яхіи(1 =0 (15)
Тензор четвертого ранга RixKv, имеет п* составляющих, однако эти составляющие связаны соотношениями (12), (13), (14) и (15). В результате арифметического подсчета получается, что все п4 составляющих тензора Римана-Кристоффеля могут быть выражены через ^ и2 (ла — 1) составляющих. Для пространства двух измерений число независимых составляющих тензора Римана-Кристоффеля сводится К 1, для пространства трех измерений к 6, для пространства четырех измерений к 20.
3. Для случая контравариантного вектора мы имеем формулу
VxVi-4" - ViVx^e = AkRlx'. (16)
Нетрудно установить аналогичную формулу для случая ковариантного вектора. В самом деле, понижая в обеих частях предыдущего равенства значок а, получим
VxVHa — VlVx^a = AXRMa.
Далее в силу равенства (12)
VxVi^a — ViVx^tt = — AhRiXOK тензор римана-кристоффеля
415
и, наконец, понижая значок у лх и одновременно повышая у Hwikt получаем окончательную формулу
VxVHa — ViVx^1 = _ А)Д\? (17)
При дифференцировании скалярной функции / (я1, . . . , хп) порядок дифференцирования никакой роли не играет. В самом деле, мы имеем
то же самое выражение получается и для ViV*/- откуда и следует наше утверждение.
Можно дать формулы, аналогичные (16) и .(17) для случая тензора любого порядка. Мы рассмотрим метод получения этих формул на простом примере смешанного тензора второго ранга А&.
Bведем еще в рассмотрение два произвольных вектора ал и V? и составим инвариант
/ = AiulrVe
По только что доказанному мы будем иметь
VxVi = ViVx(Aiu«v?)
Но ясно, что
VxVi (Л?в"г>0) = wv? VxVi^S+ »з VxVittir + ^ttaVxVivB 4-4- »?VHSv«tt<1 4- A^VittaVx»0 4
+ Wx Л* V1W + 4-Ai VxttttVi^
Последние шесть членов при перестановке индексов І и X не меняются поэтому мы получаем следующее равенство:
«"»0 (VxV1 Al — ViVx А*) = = — Atv? (VxVitt" — ViVxtt") — A*u« (VxViffl - ViVx^) Воспользовавшись теперь формулами (16) и (17), найдем Wvb (VxVi А* - ViVx-ll) = — A^v^R^Z + AfavkR^
или
ttaV0 (VxVi^a-ViVx^S) = и"»з(- AlRZi 4- AxRZi)
Отсюда, в силу произвольности векторов и" и V?, получаем
V*Vi-4« - ViVxA^ = - AtRZ* (19)
Закон образования правой части совершенно очевиден. Из тензора Римана-Кристоффеля можно получить путем сокращения индексов тензор второго ранга и инвариант.
27* «6
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
Прежде всего путем сокращения по крайним индексам і улучается тензор второго ранга, так называемый тензор Эйнштейна:
Оа-Ї^Лм^-ЛЇІ (20)
Так как, в силу формул (14), (12) и (13),
ЛьіХц = Лц Xxi
то
GxX = ^ixXlt = - Gxx (21)
т. е. тензор Эйнштейна есть тензор симметричный. Сокращая его, получим инвариант
G = Gkx = (22)
4. В § 35 нами было выяснено геометрическое значение ковариантного дифференцирования и было показано, что оно может быть тесно связано с понятием параллельного переноса вектора. Так как тензор Римана-Кристоффеля тоже выражает некоторое свойство тензорного дифференцирования, указывая на характер его зависимости от порядка дифференцирования, то естественно думать, что тензор Римана-Кристоффеля тоже имеет какое-то геометрическое значение. Более того, мы уже видели, что в случае эвклидова пространства, когда составляющие фундаментального тензора являются постоянными величинами, тензор Римана-Кристоффеля обращается в нуль, следовательно, этот тензор характеризует до некоторой степени отклонение рассматриваемого риманова пространства R71 от эвклидова. Можно поэтому думать, что тензор Римана-Кристоффеля как-то характеризует кривизну риманова пространства, подобно тому как отклонение кривой линии от касательной к ней в некоторой точке характеризуется в первом приближении кривизной кривой в этой точке. Так оно на самом деле и оказывается, поэтому тензор Римана-Кристоффеля носит еще название тензора кривизны.
