Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Второе важное отличие алгебры тензоров от обычной алгебры заключается в том, что произведение двух тензоров может обратиться в нуль, хотя оба тензора отличны от нуля. Так например, если взять за А тина od
то AA = I1 (Ii-I1) i2 = 0. Отсюда видно, что если мы имеем равенство
(тА) • В = т (A-B) А-(/иВ) = т (A-B)
(И)
(AB)-C = А (ВС) = ABC
(12)
AB = 0
то мы не можем отсюда заключить, что или A = O или В=0. произведения тензоров
ЗН
Разберемся в этом вопросе несколько подробнее.
Если мы смотрим на тензор А как на оператор, то, применяя его к ра-днусу-вектору г, мы получаем новый вектор г':
г' = Ar
Если мы рассматриваем совокупность всевозможных векторов г, то совокупность соответствующих им векторов г' может оказаться одной из следующих четырех видов (см. задачи 162—168):
1°. Все векторы г' = 0, в этом случае A = O.
2°. Все векторы г' коллипеарны, в этом случае А называется линейным тензором.
3°. Все векторы г' компланарны, в этом случае А называется п л а-н а р н ы м тензором.
4°. Совокупность воктороп г содержит в себе всевозможные векторы, в этом случае А называется полным тензором.
Допустим теперь, что мы имеем равенство
AB = 0 (13)
и посмотрим, какие следствия мы можем отсюда вынести. Предыдущее равенство эквивалентно тому что для любою вектора г
(АВ)ч=0 (14)
Но обозначим
Br - г' (15)
Тогда предыдущее равенство принимает вид
Аг'==0 (16)
Если тензор В полный, то п формуле (15) вектор г' может, при надлежащем выборе г, принять любое значение, а тогда из (16) легко заключим, что А=0.
Если тензор В планарпый, то в формуле (15) все значения вектора г' будут компланарны, а тогда, согласно задаче 163, из формулы (16) следует, что все значения Ar будут коллинеарны. Следовательно, А есть линейный тензор (или нуль).
Если тензор В линейный, то в формуле (15) все значения вектора г' будут коллинеарны, а тогда, согласно задаче 162, из формулы (16) следует, что все значения Ar будут компланарны. Следовательно, А есть плаиарный тензор (нли линейный или нуль).
Наконец, если В есть нулевой тензор, то (13) выполняется для любого тензора А. Таким образом, если в равепстве (13) один аз тензоров А или В полный, то другой должен равняться нулю.
Покажем теперь, что необходимое а достаточное условие для того, чтобы тензор П был полным, состоит в неравенстве нулю определителя тензора П:
D (Il) ф 0 (17) 312
афинные ортогональных тензоры
Гл. IIl
В самом деле, приведем тензор П по § 23 к сумме трех диад
П = P1Ii + Pais +'PaiS
где ii, ia, is — три взаимно перпендикулярных единичных орта, и составим произведения
Пі, = P11 Пі, = Pa, Пі3= Ps
Для того, чтобы тензор П был полным, необходимо и достаточно чтобы векторы pi, рг, Ps были некомпланарны, т. е. чтобы
Pi (Pa X P3) ф О
это неравенство, записанное в форме определителя, имеет вид
Pu Рг і Ра\ Pu Рг а Pa
Pia Pza Раз
т. е. совпадает с неравенством (17), что и требовалось доказать.
3. Рассмотрим произведения тензора П на самого себя. Вместо ПП пишут, как в обычной алгебре, П2, вместо П2П пишут П3 и т. д.
Принимают далее условно, что нулевая степень тензора П равна единичному тензору П° = I.
Даднм теперь определение обратного тензора.
Если существует такой тензор А, что имеет место равенство
АП = I (18)
то тензор А называется обратным для тензора П и обозначается через П"1.
Не для всякого тензора П существует обратный тензор. В самом деле, применим формулу (6) к произведению (І8) тензоров А и П; мы получим
D (A) D (U) =D (I) = 1
следовательно, D (П) должен быть отличным от нуля, т. е. тензор П должен быть полным. Полнота тензора П есть необходимое и. достаточное условие существования обратного тензора П"1. В самом деле, допустим, что тензор П — полный и докажем, что существует обратный тензор. Действительно, преобразование
г' = Пг
переводит в этом случае совокупность всевозможных векторов г опять-таки в совокупность всевозможных векторов г', следовательно, пс каждому вектору г' можно определить соответствующий ему вектор г. Следовательно
г = Ar!
где А есть некоторый тензор.
Комбинируя это равенство с предыдущим, мы увидим, что АПг = г, откуда в силу произвольности г следует, что АП = 1, т. е. A = П-' произведение тензоров
313
Итак, для всякого полного тензора П существует обратный тензор TI-1, причем, если
г' = Пг (19)
то
г = ITV (20)
Согласно основному определению (18)
IT1Il = I (21)
Но если мы подставим в (19) выражение (20), то легко увидим, что
. ПІГ1 = I (22)
Отменим еще одно простое правило действия с обратными тензорами
(AB)"1 = B-1A'1 (23)
в самом деле
(B-1A"1).(AB) = В-1 (А-1-А) В = B-1B = I
Вычислим теперь элементы тензора П"1 через элементы тензора П. Если полный тензор П задан в диадной форме
П = ЧРі + ігрг + i3Ps (24)
то. в силу полноты тензора П, векторы plt P2, P3 не могут быть компланарными, так как
D (П) = р,. (р2хра)
й по условию полноты D (П) ф 0. Обозначим через P1*, р2*, р3* систему векторов, взаимных с P1, P2, р3:
