Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Дф, (Л /) = P (/>. О - ^ $ -S P (<?. t —9 4 ГЯО)
и так как очевидно, что
а«» 4л
то сразу находим, что
?ф, (Р, t) = р (Р, t) (82)
Принимая еще во внимание (73), приходим к окончательному выводу
Пф (Л t) = P (Р, t) (83)
т. е. решением неоднородного волнового уравнения (83) является запаздывающий Ньютонов потенциал (71).
10. Наряду с запаздывающим объемным потенциалом (71) мы можем рассматривать также и запаздывающие потенциалы простого слоя
J-U (6, „,С. I -Jr)* (84)
S S
или запаздывающие потенциалы двойного слоя, получающиеся от распределения запаздывающих дублетов вдоль некоторой поверхности S.
При этом запаздывающий потенциал дублета определяется следующим образом.
Допустим, что запаздывающий потенциал, происходящий от источника, находящегося в точке Q (фиг. 68), есть
р Z.t-r/c)
г
сдвинем этот же самый источник, с его распределением интенсивности во времени, в бесконечно близкое положение Q' и образуем, разность
р(?. ті. S.t-r'/g) _ p(g.4.S.'-r/c)
т. е. у источника в Q' будем брать то запаздывание, которое соответствует именно положению Q'. Обозначим опять Q Q' = г'—г = dr = e's
18*2(276
векторный анализ
Гл. II
и положим, что при бесконечном сближении источников р растет таким образом, что
Iim ер (І, я, I, I) = т. (І, ті, I, t)
«->о
Разность (85) будет, очевидно, в пределе равна
Это выражение мы условимся обозначать через
б [та! ,,91 1 rfml дг
otV -Wlb Т~ 17ІаТJ"* <86>
В соответствии с формулой (86) под запаздывающим потенциалом двойного слоя мы должны понимать выражение
» г- о -Jlwi-f <87>
В § 19 мы вывели формулу, выражающую значение гармонической функции ф внутри некоторой области V через значения функции <р и ее нормальной производной на границе S этой области:
s
Мы выведем теперь для случая, когда функция <р удовлетворяет волновому уравнению
Af-VsF = O (88)
аналогичную формулу
s
или, несколько подробнее,
(ад
Эта формула имеет место, если точка P лежит внутри поверхности S', если же P лежит вне поверхности S, то интеграл в правой части формулы (90) обращается в нуль.
Прежде чем доказывать формулу (89), выясним ее смысл. Мы предположили, что внутри поверхности S выполняется уравнение (88); это значит, иными словами, что внутри поверхности S источники отсутствуют; следовательно все имеюшиеся источники находятся вне поверхности 5. Но правая часть формулы (89) представляет сумму потенциалов простого и двойного слоя; иными словами формула (89) дает выражение значений функции ф внутри поверхности S черев фиктивные источники, распределенные по поверхности S.5 2<
переменный поля в сплошной среде
277
G такой точки зрения формула (89) является математическим выражением принципа Гюйгенса в форме, приданной последнему Кирхгоффом, которому принадлежит формула (89).
Перейдем теперь к доказательству формулы (89). Для этого применим формулу (43) § 19 к функции
[<pl=<p(s, ч. ?.1--? = <|>(С,/—9
где г = PQ — расстояние между неподвижной точкой P и переменной точкой Q:
Ф (Р, 0 => ф {х, у, г, г) — = (91)
v s
Под знаком интеграла [ф] рассматривается, как функция точки Q (I, Г|. входящей как явно, так и через посредство г, поэтому, вычисляя по правилу дифференцирования сложных функций, находим
grad [<р] = grad ф (Q, t - f) = [grad Ф] - -I [j*] grad г (92)
Отсюда следует, что на поверхности S
~дГ - Ідї\ — 7" larj Tn
Введем теперь для большей ясности сферические координаты г, 8, ф с центром в точке P и введем сверх того обозначение
т = I--j- (94)
Тогда легко будет вычислить значение функции Д [ф], где |ф] = ф(<?, *_-1) = ф(г, е, ф, Т)
В самом деле, по формуле (41) § 18 мы имеем, считая т не зависящим от г
ДФ = у, U^ ?г) + PTiST^(rtneS) + rWiSp (95)
Но если нам надо вычислить Д [ф ], то т является функцией (94) от г, поэтому в этом случае
дг ~ дг дх \ с ) ~ дг е Эх
JL Лл ЁМ\ _ _2_Гг2 ҐІЇ. _ 1 iSP^l _11Ь (j* _ 1-22Л1 = дг\ дг]~дг[г\дг с дх) J е дх[ Kdr с дх)\
— дг V дг) с дгдх с дх """ с» дх'278
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. TI
Сравнивая это выражение с (95), получим, что
Но, по условию, функция ф удовлетворяет волновому уравнению
л 1 ааф
поэтому мы находим, что
a [«pi = _ г_ ду _ г_ а*ф 2_ э®<р
г er2 St er дг Зг с2г 5т3
Заметим теперь легко устанавливаемые формулы
І-— И '— — Г^Ф] __ д'ф 1 Заф г2 ' г» • аг [arj ~ аг дг с з-с2
Тогда предыдущее равенство можно записать, воспользовавшись еще формулой (2) § 17 в виде
argi
г с дх г* er дг \_дх\
= -I Jfe-^ [If])=(Мй)
Применим теперь формулу Гаусса-Остроградского к объему F,, получаемому из объема К путем выкидывания шара малого радиуса в с центром в точке P и ограниченного сферой 2. Тогда получим
s s
На сфере 2 будет г = е, поэтому при 8 —> 0 подынтегральная функпия
j
последнего интеграла будет порядка —, вся же площадь сферы 2 равна 4яе2; нетрудно отсюда заключить, что
iini§[g]c,,s<;'= о
Поэтому
^AIlW _ -ІОДЙ]«^* — (97)
vs s
Собирая формулы (91), (93) и (97), мы и докажем формулу (90). В качестве примера применения этой формулы примем за S сферу радиуса R = et с центром в точке Р. Тогда значения запаздывающих потенциалов придется брать в момент I — Rjc = t — 4=0, т. е. в на-5 2< ПЕРЕМЕННЫй ПОЛЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ