Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
OCJ я
Г Г SinadJ Г С sin a da Г /?n.
a^w ) -TT- = 4jrj—w-'sni <60>
-OQ О
Полученное поле можно представить также в виде
а = "^srad 9 <61)
где в есть угол, составляемый вектором R с осью Ох. Полученные формулы определяют, как легко видеть, вихрь интенсивности Г в точке Qo плоскости ху. В самом деле, из формулы (61) ясно, что вне атой точки поле всюду безвихревое. Если же составить циркуляцию вектора а по окружности радиуса R с центром в точке Qo, то она окажется равной, в силу формулы (60),
ш ¦2лЛ = Г
Опять-таки, мы сраву могли бы написать выражение (60) для поля вихря интенсивности Г на плоскости, но мы хотели показать, что к атому РАЗЛИЧНЫЕ ВЕКТОРНЫЙ поля
255
выражению можно также прийти, исходя из общих формул для поля, вызываемого вихревою нитью.
11. Рассмотрим следующий пример, хорошо выясняющий понятие поверхностного вихря. Допустим, что мы имеем движение жидкости такого сорта: внутренность сферы радиуса R с центром в начале координат вращается с угловой скоростью » около оси Oz, жидкость же внеатой сферы находится в покое. Направляя вектор угловой скорости в> по оси Oz, мы будем иметь для скорости жидкости внутри сферы выражение V = о>х г, для скорости, жидкости вне сферы V = 0: В соответствии с этим для вихря жидкости получим внутри сферы значение rot v = 2 м, а вне сферы значение rot v = 0. Поэтому вихревые линии внутри сферы будут прямые линии, параллельные оси Oz, вне же сферы движение будет безвихревым. На первый взгляд кажется, что получилось противоречие с доказанной в § 16 теоремой о том, что вихревые линии не могут внутри жидкости ни начинаться, ни кончаться. Однако, это противоречие сразу падает, если только мы привлечем к рассмотрению поверхностные вихри.
Вводя сферические координаты г, 0, ф с центром в О и осью Oz, мы сидим, что скорость жидкости терпит разрыв на сфере г = R, притом равный по величине oifl sin 9 и направленный по параллели. Как было выяснено в п. 7, это означает, что поверхностный вихрь в точках сферы направлен по меридиану и равен как раз a>R sin 0, т. е. увеличивается от полюса к экватору. Рассмотрим пояс сферы, показанный на фиг. 79 и расположенный между параллелями, для которых 0 принимает значения 0 и 0 + dB. Легко видеть, что величина поверхности этого пояса равна 2 яЛг sin 0 ??0, проекция же его на экваториальную плоскость ху равна 2 JiR2 sin 0 cos 0 dB.
Поэтому через этот пояс изнутри сферы выходят 4 іXtoRi sin 0 cos 6 <20 вихревых линий. Выйдя из сферы, они сейчас же загибаются вдоль меридиана, как показано на чертеже.
В самом деле, через верхнюю параллель пояса, соответствующую аначевию дополнения широты, равному 0, проходит по вышеуказанному
<оД sin 0 2 яй sin 0 = 2зшН* sin20
Фиг. 79
вихревых линий, а через нижнюю параллель будет уже проходить
2лOifi8 sin29 + д (2jlca^sipa 9) = 2 тоRs sin2 0 -+- 4 гавЯ» sin 0 cos 0 <ІЄ
т. Є: на 4 лкаД2 sin 9 cos 0 dB вихревых линий больше. Схематически вид вихревых линий и их относительная густота показаны на фиг. 79. 256
векторный анализ
Гл. TI
§ 21. Переменные поля в сплошной среие
1. В атом параграфе мы рассмотрим ряд вопросов, относящихся к теории переменных полей, т. е. полей скалярных или векторных функций, зависящих от времени t.
Допустим, что мы рассматриваем некоторую сплошную среду, например жидкость или газ, находящуюся в движении. Для того чтобы знать движение этой среды, необходимо знать скорость V (г, О каждой частицы этой среды в каждому моменту времени.
В § 13 мы уже рассмотрели вопрос об изменении скалярных и векторных функций в том случае, когда приходится рассматривать движение некоторой сплошной среды. Мы установили следующие формулы для полных производных от скалярных и векторных функций:
= +vgrad ф (1)
-ir--ir+<'-v>- (2)
В этих формулах левая часть представляет производную по времени от рассматриваемой функции, высчитанную и предположении, что значения функции вычисляются в различные моменты времени для одной и той же частицы, перемещающейся в пространстве вместе со всей сплошной средой. Как видно ив формул (1) и (2), полная производная какой-либо функции состоит из двух частей: местной производной (первый член формулы), характеризующей изменение функции в данном месте пространства, и конвективного члена (второй член формулы),, характеризующего изменение функции благодаря тому, что рассматриваемая частица переносится в пространстве.
В первой половине настоящего параграфа мы рассмотрим вопрос о вычислении полных производных от интегралов от скалярных в векторных функций но жидким объемам, поверхностям и линиям. Мы называем при этом объем V жидким, если он во все время движения сплошной среды состоит из одних и тех же частиц в той среды. Ясно, что, вообще говоря, жидкий объем с течением времени будет деформироваться, так как частицы, его составляющие, двигаются, вообще говоря, с различными скоростями V (г, t). Поэтому, когда мы рассматриваем ннтеграл по жидкому объему, например,
h = \ydV (3)
где ф (г, t) — скалярная функция координат и времени, то при вычислении его производной необходимо учитывать не только изменение функции Ф (г, t), но и изменение самого объема F.
