Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
8
= =ь 2 (7)
!—I
как раз совпадающие с формулами преобразования аксиального вектора.
Таким образом, каждому антисимметричному тензору отвечает некоторый аксиальный вектор, и обратно. Отметим еще, что составляющими антисимметричного тензора по осям являются векторы
Pl = — ®8>8 + Ws'* — ІіХШ, Pj = I8XtO, P3 = I8 X» (8)
Заметим, наконец, что тензор, сопряженный с антисимметричным тензором, отличается от последнего только знаком
Пс = -П (9)
3. Докажем теперь теорему: всякий тензор можно разложить. а притом единственным образом, на сумму двух тензоров, ив коих один будет симметричным, а другой антисимметричным-
Пусть дан тензор П и мы хотим разложить его на сумму двух тензоров: симметричного 2 и антисимметричного А:
П = 2 + А (10)
Взяв от обеих частей этого равенства сопряженные тензоры
IL = Sc + Ac В силу формул (4) и (9) получим
Пс = S - А
Отсюда, в соединении с (10), найдем, что необходимо взять 2_u±i.
В силу равенства (21) § 22 тензор 2 дейстаительно будет симметричным, тензор А антисимметричным; впрочем это очевидно и из того, что элементами тензоров S и А являются
Pm ^fik „ Pki — Ptk м™ вы =-j-¦ = -2--( '
Сумма тензоров S и А дает, очевидно, исходный тензор П, следовательно, теорема доказана.
4. В § 22 мы условились символически записывать тензор
п-1
Pu Pu />18
і Pai Pts Pts j (13)
' Psj Pat Pts J 294
афинные ортогональные тензоры
Гл. III
в виде
п = Iip1 + I2Pa + I3Pa (14)
а также в виде
з з
П=2 S PuiA (15)
В том же параграфе мы ввели в рассмотрение особого рода тензоры, названные нами диадами; в настоящем же параграфе мьг определили, что мы понимаем под сложением тензоров.
Покажем теперь, что формулы (14) и (15) справедливы и в том случае, когда правые части этих формул мы понимаем как сумму соответственно трех и девяти диад. Например, для доказательства формулы (14) достаточно заметить, что по самому определению диады
j pu ріг різ) 10 0 Oj j 0 0 0
ЧРі =(° 0 0 ft izP2 = ) P21 Pii P2s ( t Ьр» = [ 0 0 0
1 0 0 0 J \ 0 0 0 J Ipsi pst pss
Складывая эти три диады, очевидно, получим П. Аналогично доказывается и формула (15).
Так как всякий тензор можно представить в форме (14), то мы видим, что всякай тензор можно представить в виде суммы трех диад.
Заметим далее, что мы имеем право сгруппировать в (15) слагаемые следующим образом:
з з
П = 2 (2 PniifcliJ
Если теперь ввести обозначения
з
2 = Pi (1 = 1,2,3) *=і
то тензор П представляется опять в виде суммы трех диад П = PiiI + PaiZ + Psi3
но только теперь три взаимно перпендикулярных орта Ь, ia, is будут стоять в каждой диаде на последнем месте.
Если мы имеем тензор П, представленный в виде суммы трех диад
П = a, Ii1 + aabj + a3bs
то сопряженный тензор будет, очевидно, равен сумме трех сопряженных диад
Пс = bja, -I- baa2 + b3a3
Задача 161. Разложить на симметричную и антисимметричную части диаду ab. В частности выяснить значение аксиального вектора, соответствующего антисимметричной части. 124 умножение тензора на вектор
298
Ответ. ab = S 4- А,
где
( -j (<*А + афл) \ (афз + O3^1) \
S = (ab + Ьа) = j т + <hh) аф* т (а А + афа) j>
I т (aA + (L3L1) -j- (аА + аА) алЬв J
IU — to, (о4| А =-i-(ab — ba) = j (os О —(O1L со = у bxа
о»2 со, О J
§ 24. Умножение тензора на вектор 1. Пусть нам дан тензор
(Pu Рч Pisj П = IjPi 4 Ijp5l + isPs = ч ра1 р22 р23 | (1)
' Piі Pat Раз \
и вектор
a = ^a1 4- Ua4 4 4? (2)
Под скалярным произведением тензора П на вектор а справа мы будем понимать новый вектор а', который мы будем обозначать символом П«а или, более коротко в тех случаях, когда это не может вызвать недоразумений, Па и который мы определим формулой
а' = П-а = Па = it (pj-a) + ia (р2«а) + Ь (Ра-а) = (3)
= >3 {рііаі4рца2+різ%) + 'a (Pzi«i +РааЯг +PiaO3) 4 is (Рзі"і 4 РаФг 4 Рзз<*») так что проекциями этого вектора а' являются
®l' = Pila I + PnaI + Pisl3
a-ї = Pu«і 4- Piia3 4-. Pisi3 (4)
= p3iai + P3IaS "+" PbSaS
Таким образом, скалярное произведение тензора П на вектор а есть вектор, составляющие которого линейным однородным образом выражаются через составляющие вектора а, причем коэффициентами являются компоненты тензора П. Вектор а' = П-а называется поэтому еще линейной векторной функцией вектора а.
Из самого вида формул (4) ясна дистрибутивность и ассоциативность скалярного произведения тензора на вектор, выражающаяся формулами
(П, 4 Па)-а = П^а 4 П2-а n-(aj 4- а2) = П.H1 + П-а2 (5)
И"та = т (П-а) 296
афинные ортогональные тензоры
Гл. III
Рассмотрим частный случай, когда тензор П есть диада
IVl ^ Iе г IjlC3 Vl ijjCj, ijc3 ^sC1 ^3Cj 6sC3
В этом случае формулы (4) приводятся к
= (с-а). «а' = h (с-а), аг' = Ьг (с-а) и, следовательно, мы получаем, что
(Ьс).а = Ь {с.а) (6)
Мы видим отсюда, что для того чтобы скалярно помножить диаду на вектор, достаточно формально помножить на этот вектор ближайший к нему вектор диады.
Бели тензор П есть сумма нескольких диад, например
