Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Если для каждой прямолинейной прямоугольной системы координат
Oxyz мы имеем совокупность трех векторов ря,- р^, р„ преобразующихся в вектор.ы рх', рв', Pj', отвечающие другой системе координат Ox'y'z по формулам
Pi- = ря cos (х, х') + pw cos (у, х') 4- pz cos (г, х') Pv' = рх cos (X, у') + Pv COS (у, у') 4- рг COS (2, у') (3)
Рг' = Px COS (х, z') + рв COS (у, z') + рг cos (z, г')
то совокупность $тих трех векторов определяет новую величину П, называемую афинным ортогональным тензором второго ранга. Векторы Pi* Pv> P^ могут быть названы составляющими тензора П по осям Ох, Oy, Oz. Часто афинные ортогональные тензоры второго ранга называют еше афиннорами. Мы будем называть их в этой главе просто тензорами. По аналогии с обозначением вектора (1) можно условиться ввести для тензоров обозначение
П = ip* + jpa 4- крг (4)
но только нужно помнить, что при таком обозначении порядок, в котором мы пишем векторы, играет существенную роль (можно было бы условиться обозвачать тензор П через p^i 4- P1J + р2к, но наше обозначение больше отвечает общепринятому).
3. В качестве примера приведем тензор упругих напряжений. Рассмотрим упругое тело, внутри которого вырежем мысленно объем V, ограниченный поверхностью S (фиг. 85). На каждый элемент cLS этой поверхности будет действовать со стороны частиц тела, лежащих вне объема V, сила, происходящая от деформации тела. Эта сила пропорциональна величине площадки dS и зависит от направления нормали п к рассматриваемому элементу; обозначим ее через pn dS. Век- Фиг. 85
тор р„, представляющий, очевидно, силу, отнесенную к едивице площади, и зависящей от направления нормали и, называется напряжением на площадку dS с нормалью п. Отметим, что, вообще говоря, напряжение р„ на площадку с нормалью 286
афинные ортогональные тензоры
Гл TII
а не будет перпендикулярно к площадке, т. е. не будет иметь того же направления, что п. В каждой точке упругого тела каждому направлению а отвечает свой вектор напряжения рп. Следовательно, для каждой системы координат мы можем определить векторы рх, рв, р2. Докажем, что полученные таким образом векторы определяют тензор П, который и называется тензором упругих напряжений; для этого, по определению тензора, достаточно доказать справедливость равенств (3).
Обозначим через F внешнюю силу, действующую на единицу массы тела, через W — ускорение точки тела, через р — плотность.
Тогда масса элемента'объема dV будет pdV, внешняя сила, действующая на этот элемент, будет равна р F dV, и, наконец, сила инерции будет равна — р W dV.
По началу Даламбера главный вектор внешних сил и сил инерции, приложенных к элементам объема V, и поверхностных сил, приложенных к элементам поверхности S, должев равняться нулю:
s р (F-w) dV + \V„dS~ 0 (5)
v s
Применим это уравнение к бесконечно малому тетраэдру MABCt построенному при рассматриваемой точке M таким образом, что его три 7 г грани параллельны координатным плоскостям,
а четвертая грань, величины S, перпендикулярна к вектору п (фиг. 86).
На грань ABC будет действовать поверхностная сила p„<S (причем значение вектора р„ нужно ' брать в некоторой средней точке площадки ABC). На грань MBC будет действовать поверхностная сила — ря S cos (и, х). В самом деле, пред-Фиг. 86 положим сначала, что нормаль а составляет
с осью X острый угол; грань MBC является проекцией S на плоскость yz и потому имеет величину S cos (п, х). Внешняя нормаль к этой грани направлена в рассматриваемом случае по отрицательной оси Ox, напряжение на нее будет — рж, а значит поверхностная сила на грань MBC будет — р^ cos (п, х). При этом нужно брать значение pA в некоторой средней точке площадки МВС. Тот же результат получается и в том случае, когда нормаль п составляет с осью Ox тупой угол.
Совершенно аналогичное вычисление показывает, что поверхностные силы, действующие на грани MAC и MAB, соответственно равны — PyS cos (п, у) и — рг15 cos (n, z).
Величина первого члена в равенстве (5) пропорциональна объему тетраэдра MABC и может быть записана в виде Fq, где q — некоторый конечный вектор. Поэтому из уравнения (5) получаем
s (Pr. — Px cos (n, х) — Pv cos (п, у) — P1 cos (n, z)) +Fq = О $ 22 понятие афиниого ортогонального tbhsopa
287
Разделим это равенство на S и после этого устремим все ребра тет-
V
раэдра к нулю; в силу очевидного равенства Iim = 0, получим
Pn = P* COS (п, х) 4- pv COS (п, у) н- р2 cos (п, г) (6)
Так как направление вектора а можно выбрать по произволу, то равенство (6) влечет за собой выполнение равенств (3), что мы а хотели показать.
В каждой точке упругого тела будет свой тензор упругих напряжений; мы имеем таким образом поле тензоров упругих напряжений.
Укажем еще раз на значение величин, входящих в уравнение (6): ря. есть вектор напряжения на площадку, перпендикулярную к оси Ох; составляющие этого вектора обозначим через Pxx, Pxy, pIZ; так как, вообще говоря, pxv и Pxz ие равны нулю, вектор напряжения рх будет наклонен' -к плоскости yz; его составляющая Pxx дает так называемое нормальное напряженне, составляющие же Pxy я рхг определяют касательное напряжение на площадку, перпендикулярную к оси Ох.
