Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
я» .
ft»S jpjs (22)
Пря этом мы всюду будем писать знак суммирования, если оно происходит в пределах от 1 до т.
Нашей первой задачей будет изучение метрики пространства Rftt т. е. рассмотрение того какое значение имеет длина какого-либо вектора в пространстве Rn и какое значение имеет угол между днумя векторами $ 32 фундаментальный тензор
367
в этом пространстве. Прв этом мы будем исходить из известной нам метрики нашего трехмерного эвклидова пространства, которая весьма легко обобщается на случай эвклидова пространства т измерений.
Итак, возьмем какой-либо контравариантный вектор Ai. Легко найти такой бесконечно малый вектор dxS который имеет то же направление, что и вектор Ai, точнее говоря, вектор Cfzi, составляющие которого пропорциональны составляющим вектора Ai'.
dx' = XAi (2В)
Так как прн переходе от одной координатной системы к другой составляющие векторов dx' и А' преобразуются по одним н тем же формулам, то величина X при этом изменении координат остается инвариантной.
Вектору dx' отвечает в пространстве Em бесконечно малый вектор dy с составляющими dya, длина которого равна ds.
Естественно поэтому аа длину вектора dxi принять выражение для ds, определяемое формулой (19).
Так как составляющие вектора A1 в X раз меньше составляющих вектора dxi, то н длину вектора A1 следует принять в X раз меньше, чем ds.
Но прн выполнении условий (23) мы имеем, что
ds1 = Xа giH AiA"
Отсюда вытекает, что за длину вектора Ai следует принять выражение I (Ai) = VgiltAiAk. (24)
Заменяя контравариантные составляющие вектора Ai его коаарнант-ными составляющими по формулам
gikA" = Ai, Ai = g" A1 (25).
получим еще два выражения для длины вектора Ai:
I (Ai) = VJ^ I (Ai) = VgjA^Ti (26>
Заметим, что так как вектору dx' отвечает в пространстве Em вектор с составляющими
dya =^dxi (et = 1..... т) (27V
то вектору
Ai = ^dxi
будет соответствовать афинный ортогональный вектор а з пространстве Em с составляющими
а« =Г? А* С«— 1.....—> (28>
OX
Чтобы определить значение угла между двумя векторами A1 н Bi в пространстве Rn, рассмотрим предварительно вопрос о скалярном произведении этих двух векторов. 368
элямянты общвя теории тензоров
Гл. IV'
Вектору А' будет соответствовать в пространстве Em вектор а с составляющими (28), точно так же вектору B1 будет соответствовать вектор Ъ с составляющими
b«=S>Bft(a = l.....») (29)
дх
Составляя по обычному правилу скалярное произведение двух векторов а и Ь, получим
р> ґл . а яі а
а.ь = S -А = 2 S * - ** - <30>
del Ot—] Ot 1
Таким образом, под скалярным произведением векторов A1 и В" следует ¦понимать следующие выражения, равные между собой в силу формул (25):
^ttAiSk = AkBk = AiBi = SiiAlBl (31)
Теперь не составит никакого труда найти угол между двумя векторами А' и В*, понимая под этим угол o между соответствующими этим векторам векторами а и Ь в пространстве Em. В самом деле, мы, очевидно, имеем
о. а-Ь cos V — —г = ab
SikAiB" AiBi SikAiBll (32)
VgikAiAk VgikBiBk VAiAiVBiBi VgikAiAlfVeikBiBk
Отметим в частности условие ортогональности двух векторов Ai и Bi: SaAiBk = А% = gikAtBk = 0 (33)
4. Переходя к дальнейшим приложениям тензорной алгебры, мы в целях простоты изложения допустим, что мы имеем дело с эвклидовым трехмерным пространством, в котором введены произвольные криволинейные координаты я1, і?, з?.
Рассуждения предыдущего пункта остаются в этом частном случае в полной силе; однако в данном случае их можно еще сильно упростить.
Основным признаком эвклидова пространства является то обстоятельство, что хотя в общих криволинейных координатах выражение для имеет форму (19), существуют такие прямолинейные прямоугольные системы координат у\, уч., уз, что ds* принимает форму
ds2 = dyіа + dy? + dy з2 (34)
и что, следовательно, составляющие фундаментального тензора в этой системе будут иметь вид
gi* = «? (35)
В общем же римановом трехмерном пространстве привести ris2 к форме (34) нельзя, и только, если включить это пространство в эвклидово пространство более высокого числа измерений, можно привести ds? $ 32 фундаментальный тензор
369
к форме (21). Но в координатах у\, у г, уз мы превосходно знаем, чему равна длина вектора, угол между двумя векторами и т. п. Это дает возможность, как. мы сейчас увидим на ряде примеров, сразу написать аналогичные выражения в общих криволинейных координатах.
Рассмотрим какой-либо вектор, и пусть Ai его контравариантные компоненты, a At — ковариангные. Тогда нз общей теории тензоров мы знаем, что выражение AiAi является инвариантом. Но в системе координат у\, у2, уз различие между контравариантными и коварнантнымн компонентами пропадает; для ясности будем обозначать в координатах yi, уз составляющие вектора Л через ai, аз, аз, вектора В через bi, bi, Ьз н т. д. Тогда инвариант AtAl будет иметь в координатах у\, уъ, уз, значение ai3 -I- as2 + as2, а это, как известно, есть квадрат длины вектора. Итак, длиной вектора Ai в любых криволинейных координатах является
