Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
(31)
Lnx = (y.Z, - Z1Y1) + .. . + (ynZn - znYn)
Lay = (z,X, — X1Z1) + . . . + (znJf„ — XnZn)
Loz = (^ijrI — Уіхі) + -.. + (xnYn — упХп) L0-R = LaxRx + LovRv + LozR2
9. Другое важное приложение векторного произведения связано с выражением для скорости точек твердого тела, вращающегося около некоторой оси. 55 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Гл. I
Пусть твердое тело вращается около оси OA (фиг. 35). Возьмем какую-нибудь точку M твердого тела; при вращении- твердого тела эта точка будет описывать окружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, я имеющую свой центр P на оси вращения.
За время At радиус PM повернется на угол Д9 и точка M опишет путь PM-ДА, скорость же точки M будет равна
Iimf^M =/>ЛГ.<в at-*)
и будет направлена по перпендикуляру к PM. Величина
и де o) = lim ~
At^о
называется угловой скоростью вращения тела.
Отложим от точки О вектор и, равный по величине Фиг. 35 ш и направленный по прямой OA в ту сторону, откуда
вращение кажется совершающимся по часовой стрелке, если выбрана левая система координат, и против часовой стрелки, если выбрана правая система; навовем этот вектор вектором угловой скорости. Обозначим далее через г радиус-вектор точки M относительно какой-нибудь точки О оси вращения и составим векторное произведение вхг. Величина его равна о>г sin (AOM) = ш • PM = V, направление же перпендикулярно к OA и OM и притом оно направлено так же, как V, так как, глядя с конца вектора V, мы видим ш слева от г при выборе левой системы координат и справа от г при выборе правой. Таким образом м X г совпадает с v как но величине, так и по направлению, т. е.
V = WXr (32)
Напишем составляющие скорости любой точки М:
vx — fflvz — тгу
Vy = 0)гх — mxz (33)
Vi = ш ху — щх
Если твердое тело принимает участие одновременно в нескольких вращениях около разных осей, проходящих через одну и ту же точку О, причем векторы угловых скоростей суть U1, «в-2, . . . , Un (пример — гироскоп), то составные скорости точки M будут
V, = U1 X г, V2 = W2 X г, . . ., V,, = Un X г
Так как скорость составного движения раина геометрической сумме скоростей составляющих движений, то
V = V1 + V3 + . . . + Vn = W1Xr + . . . + UnXr = (<о, -1- .. . 4- шп)Xг = wxr где положено
и = W1 4- ... -I- а>,
(34) I б ВЕКТОРНОЕ ИЛИ ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ flBVX ВЕКТОРОВ 57
Получили теорему сложения угловых скоростей: если твердое тело принимает участие в ряде вращений около точки О, то оно вращается с угловой скоростью «>, равной геометрической сумме угловых скоростей данных вращений.
Задача 46. Доказать, что
(а X Ь). (a Xb) (а-Ь)2 = а?Ьг
В самом деле,
(аX Ь)2 = а262 sin3 (a, b), (а- Ь)а = а2Ь2 спя2 (а. Ь)
Складывая эти два равенства, получим требуемый результат.
Введя составляющие векторов а и Ь, мы получим следующее алгебраическое тождество, часто встречающееся и известное под именем тождества Эйлера-Лагранжа:
(aubz — azbyY + (azbx — ахЬг)г + (axb„ — avbx)2 + (axbx + aj>v + azbz)2 = = (axa + Ou2 + a*) (V + V + b*) (35)
Задача 47. Вычислить (a + b) x (a — b)
(a + b)x(a— b) = axa + bxa—axb — bxb = — 2ax b
Геометрический смысл этого равенства состоит в том, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма, в два раза больше площади самого параллелограмма.
Задача 48. Найти формулу для sin (а + 8).
Рассмотрим векторное произведение двух единичных векторов а и Ь, лежащих в плоскости ху (фиг. 25) и составляющих с осью х соответственно углы аир. Непосредственное определение axb дает — sin (а + 8) к; вычисляя с другой стороны z-ую координату axb через составляющие векторов а и Ь, найдем
(аX b)j = axb„ — афх = — cos а sin ? — sin а cos ? = — — (sin а cos ? + cos а sin ?)
Сравнивая эти два выражения, найдем требуемую формулу: .sin (а + ?) = sin а cos ? + cos a sin ?
Задача 49. Пусть вершины ABC треугольника заданы своими радиусами-векторами A (?), В (г8), С (г3). Найти вектор S1 представляющий треугольную площадку ABC, иа которой задано направление обхода контура от А к В и от В к С.
Так как AB = rs — rlf ВС = T3 — г2, то искомый вектор есть
('s — Гі) X (r3 — r2) = -^r2Xra--І-ГіХГз — -|-гахга+ у T1Xr2 =-.
= Y(fsXr3 + r1xrl-fr1xr!) 58
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Гл. I
Задача 50. Найти уравнение прямой, проходящей через Af1 (rj) и параллельной данному вектору а. Если радиус-вектор какой-либо точки прямой есть г, то вектор г — її должен быть коллинеарен с а, т. е.
г — Гі «*» Х.а
где X — переменный параметр (задача 5). Чтобы исключить последний, умножим обе части уравненив векторно на а, тогда получим
(г - rjxa = 0, или гха=г,ха
Это и есть векторное уравнение прямой. Вводя компоненты вектора а, можно написать уравненив првмой в одном из следующих двух вндов:
х — х, _ у — у і _ г —н ах аг
или
OvZ — azy = OvZi — azyi агх — axz = агХі — axz j axy — OvX = Ox2/i — aVxI
Задача 51. Найти уравнение кругового цилиндра радиуса р, ось которого проходит через начало координат и имеет направление, заданное ортом и.
