Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
2 к . вр = Д»С08 9
Следовательно, принимая
2ft _ дв —с>
к =
сГР
(50)
мы получаем решение предложенной задачи в виде
Vr = с (t^'cos 0, v„ = |-<;(*)%іп0, V9 = 0
Прв этом при г — ос получается, как должно и быть, v = 0. Задача 163. Найти решения уравнения Лапласа
Дф = 0
зависящие только от г или только от S или только от<р, где г, 0 и ф — сферические координаты. Ответ:
Ф = А +у, ф = A +Slgtgl, ф = Л+Вф
Задача 154. Имеется однородное тело, ограниченное двумя концентрическими сферами с центром в 0 и с радиусами а и Ь, где а < Ь. Найти установившееся распределение температуры в этом теле, если известно, что на внутренней поверхности тела г = а температура T поддерживается равной постоянной температуре T1, а на внешней поверхности г = Ь равной постоянной температуре Ti, и что уравнение теплопроводности для стационарного состояния есть ДГ = 0. Ответ:
т _ Т,а{Ь — г) + ТгЬ (г-а) r(i-e) 206
векторный анализ
Fn. II
6. Наибольшие осложнения, связанные с применением криволинейных координат, коренятся в том обстоятельстве, что единичные векторы ei, eg, ез имеют в криволинейных координатах различные направления в разных точках.
Если мы рассмотрим две бесконечно близкие точки
M (д2, g«, qa) и M' (?1 -ь dqi, qa + dqa, q3 + dqt) то единичные векторы в этих точках будут соответственно
eIl eSt е3
и
ех -H desu Cs + deg, е, + de*
При этом конечно
^ = ?^ + ?*?+?^ (51)
и т. д. Поставим себе задачей вычислить производные
Sel дві Зеї dq-L ' 3? ' dq3
Так как ei есть единичный вектор, т. е.
еі-ег = 1
то из формулы (10) § 17 следует, что
(е, • V) ei + eL X rot ег = 0 (52)
Так как единичный вектор Єї направлен по касательной к координатной линии gl, то
(S1-V) е. = Ir = ^tI <53>
Вспоминая формулу (35), легко найдем, что
, . /1 BH1 1 Sff1 \
(et.V)ег = rot е, X е, = -Jljr-^y el =
___Iaff1 і ані
— H1H3 dq2 H1Ha aqa e» (04>
и, комбинируя эту формулу с предыдущей, получим
dqi - H2 дЧ.2 Єг Hl dqe Є® ^°1
Для вычисления заметам, что аналогично формуле (53) мы имеем (*^)*-?-?? (56) криволинейные координаты
207
Но из формул (6) и (9) § 17 легко вывести следующую формулу: 2(Ь • V) a = grad (а • Ь) + rot (а х Ь) — а х rot b —
— b X rot а—adivb + bdiva (57)
Подставляя сюда а = е1? b = ег, после ряда вычислений найдем
= (58)
и, следовательно,
_ег дИз /сох
Аналогично этому находится формула
a-is <")
7. Рассмотрим в заключение этого параграфа основные понятия дифференциальной геометрии поверхностей.
Пусть мы имеем поверхность S. Тогда положение каждой точки M этой поверхности может быть определено двумя криволинейными координатами 9, и q2, таи что радиус-вектор г точки M является функцией от 9, и qt, иными словами координаты точки M будут функциями от q1 и qti
X = Xiql, У = У(Чи 9а). z = z(qlt qJ (61)
Линии поверхности S, на которых одна из координат ql и q2 сохраняет постоянное значение, а мевяется только другая координата, называются координатными линиями. Единичные векторы, направлев-вые по касательным к координатным линиям qx и д2, обозначим опять через е, и е,.
Составив зектор Srjdq1, мы легко убедимся в том, что он имеет направление е„ а вектор dtjdq2 имеет направление е2:
Однако, мы не будем теперь предполагать криволинейные координаты Q1 и q2 ортогональными. Перемещению точки из положения M (q1, qt) в бесконечно близкое положение M'{ql-{-dqv д2-f-Clqi) соответствует
приращение радиуса-вектора
^ = ?% + ?? <63>
квадрат абсолютной величины которого равен
=<*>¦dqIdq*+(S2 ^ 208
векторный анализ
Fn. II
Введем обозначения
W^W,"" "»»(ft- 9«)
dt dt t v = qt)
(84)
тогда для квадрата дифференциала длины дуги кривой, находящейся на поверхности, получим выражение
= gn dqf +- 2gtt rf<7, dg, + gM d<j2J (85)
которое называется первой основной формой Гаусса.
Если единичный вектор нормали к поверхности в точке M обозначить черев в, то вектор п должен быть перпендикулярен как к вектору drtdqi, лежащему в касательной плоскости к поверхности, так и к вектору dtIdq3, следовательно вектор н имеет то же направление, что и вектор
дг дт_
"5U Sq3
Но так как, по условию, а — единичный вектор, то должно быть
(68)
—х-dqt dq3
fr iL вві Oq3
Заметим теперь, что по формуле (22) § 7
(iL х ULY U?. SqJ
dt дг dqi' d<h dr _ дт_
dqi dq3
аг дг dtfr'dq,
iL. ?l
dq,'dq„
gti gl* gia g32
- Sugtt — gia2
и, следовател ьно,
то
если ввести обозначение g —- Vgugt3 — ?иа
iL iL і _
дд, Х dq, I - g
(67) (88)
— X—
dqi dq3
Легко далее вычислить угол а между координатной линией а координатной линией qt, проходящими черев рассматриваемую точку М. В самом деле, мы, очевидно, имеем, что
J^ • ^ =//)0^.?) = HlHtcose = KffH ^йм cos а § 19 определение вектора по его вихрю и расхождению 209
в, следовательно,
COS« = (70)
V giiVgis
Отсюда, в частности, следует, что gi и дз образуют ортогональную систему криволинейных координат тогда и только тогда, когда
