Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
dt + Tl V dx" = 0 и, сравнивая его с уравнением (16), примененным к вектору Iі,
6ix -I- = о
мы можем заключить, что при параллельном переносе вдоль геодезической линнн o|x = Иными словами, при параллельном переносе вдоль геодезической линии L из одной точки M в другую точку P единичный вектор, касающийся линии L в точке М, переходит в единичный вект.ор, касающийся той же самой геодезической линии в точке Р.
7. В заключение настоящего параграфа сделаем одно общее замечание. При построении тензорных производных основную роль играли символы Кристоффеля Га,з- Можно поэтому было бы исходить, не вводя в рассмотрение основную форму ds1 = gik dx1 dx прямо из определения тензорных производных формулами (6) предыдущего параграфа, понимая в этих формулах под Г^ величины, подчиненные некоторым требованиям весьма общего характера. В результате такого построения теории получаются пространства гораздо более общего типа, чем риманово. Мы ограничимся этим кратким указанием, причем попутно отметим,, что римановым пространством называют обычно такое, в ко- НИКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ
401
тором задана основиая форма ds* и в котором операция тензорного дифференцирования определена так, как мы это проделали выше, т. е. с помощью формул (6) и (8) предыдущего параграфа, в которых суть символы Кристоффеля второго рода, определяющиеся через фундаментальный тензор gik при помощи формул (22) и (24) § 33.
§ 36. Некоторые прпменеїшя
1. Установленное нами в предыдущих параграфах понятие тензорной производной является могущественным средством для преобразования векторных выражений к любым криволинейным координатам.
Дело в том, что данное нами определение тензорной производной годится для любой системы координат, ас другой стороны, имеет тензорный характер.
Поэтому, взяв какую-либо векторную операцию и выразив ее через тензорные производные, мы получаем выражение, имеющее тензорный характер и потому пригодное для вычисления в любой системе координат. Мы применим эту богатую по своему содержанию идею к целому ряду частных случаев, причем для определенности рассмотрим наиболее важный с рассматриваемой точки зрения случай криволинейных координат в трехмерном эвклидовом пространстве; этот случай был нами с другой точки зрения рассмотрен в § 18.
2. Рассмотрим трехмерное эвклидово пространство и в нем прямолинейные прямоугольные оси координат О у\ уз уз- Введем далее, как в § 18, криволинейные координаты gx, qz, да, которые мы теперь будем обозначать, как обычно, через ж1, я2, я?. Тогда ух, у%, уз будут функциями от я1, а2, х3 и обратно
Ух У* з?, ж3}. Xі = Xі (ух, уа, ys) (1)
Расстояние между двумя бесконечно-близкими точками пространства будет выражаться в координатах у\, уг, уз формулой
ds1 = dyi2 + dyi* + dys* (2)
в координатах же ар1, з?, я? формулой
ds2 = gibdx'dx» (3)
где, как обычно, по каждой царе одинаковых значков производится суммирование в пределах от 1 до 3 и где, согласно общей теории,
= SlSt <4>
причем в последней формуле опять-таки подразумевается суммирование по а. Зная go,, по формуле (5) § 32 определим составляющие gik контравариантного фундаментального тензора.
26 н. Е. Kovta 402
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ТЕНЗОРОВ
Гл. TV
В случае криволинейных ортогональных координат, обозначая, как в § 18, через Hi коэффициенты Ламэ
будем иметь
git = H*, g = НіЧІагЛаг, Sii = -T^, g* = g* = о при г =M (6)
і
Мы уже выясняли в § 32, что если обозначить ортогональные проекции вектора а, приложенного к точке М, на оси криволинейных координат, через ах<, ах>, ах» и назвать их физическими составляющими вектора, то между контравариантными составляющими вектора а*, его ковариант-ными составляющими Of и физическими составляющими ахі имеют место соотношения
ах1 = HtUi = -L а, (7)
3. Перейдем теперь к рассмотрению различных векторных операций. Начнем с простейшей из них: градиента скалярной функции /. В декартовых координатах этот вектор имеет составляющие
JL JL JL
дуі ' дуі ' Sy3
Но мы знаем, что вектор с составляющими dj/dxl есть ковариантный вектор, причем ясно, что составляющие этого вектора в системе координат yi, уч., уз совпадают с составляющими вектора grad /. Отсюда мы сразу можем заключить, что ковариантными составляющими вектора grad { в любой системе координат являются величины.
V-Z-Sr (8)
Контравариантными составляющими этого вектора будут служить величины
= (9)
В случае криволинейных ортогональных координат, переходя от ко-вариантных составляющих к физическим по формулам (7), легко получим для проекций grad / на оси криволинейных координат выражения
^rad = TTlIk (10)
совпадающие с выражениями, получающимися иэ формул (27) § 18.
4. В качестве следующего примера возьмем расхождение вектора а. В координатах yi, уг, уа мы имеем
(div a) = (U' НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ
403
Переходя к криволинейным координатам х1, х2, ж3 и заменяя обыкновенные производные на тензорные, мы приходим к выражению Vi®' =- V1«;. которое имеет инвариантный характер и в случае координат Уіі Уг, У* совпадает с выражением (11), ибо в декартовых координатах, очевидно, все символы Кристоффеля равны нулю и, следовательно, тензорное дифференцирование совпадает с обыкновенным. Итак, в любой системе координат мы имеем равенство
