Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
2. Вычислим теперь проиаводную по времени от интеграла (3). По обшему правилу, даем времени t приращение Д/; за промежуток времени Al частицы, занимавшие к моменту времени t объем V, ограниченный 5 2< переменный поля в сплошной среде
257
поверхностью S и заштрихованный на фиг. 80 горизонтальными черточками, заполнят в момент времени t -f- Д* объем V, ограниченный поверхностью S' и заштрихованный на фиг. 80 вертикальными черточками. Обозначим теперь общую часть объемов VhV через Vi, объем, заключенный между поверхностями
Si и Si' и образованный теми частицами, ко- ,
торые за время At вышли из поверхности S, через V3, и, наконец, объем, заключенный между поверхностями S3 и Sa' и образованный теми частицами, которые за время At вошли . внутрь поверхности S, через Vt.
Очевидно, что V = Vi + V3, V = Vi + V3.
/оч Фиг. 80
и поэтому для приращения интеграла (о)
за время At получаем выражение
Ah = I3 (* + АО — Zs (г) = ^ ф (г, / + Д<) dV — ^ ф (г, t) dV =
vll-i-v2 v1-i-v,
= } [ф (Г. І + At) — ф (г,t)\dV +|ф (i,t + At) dV — [ф (г,г) dV (4)
v1 v,
По теореме о среднем
l-t-ОДІ
где 0 < В < 1; кроме того, при дг — 0 объем Fi обращается, очевидно, в V, поэтому
^dV
Imi-IrS 1ф (Г> f + -ф (Г' 1)1 ^ = ^
Если элемент поверхности Si обовначить через dS, то, как видно нз фиг. 80, частицы, проходящие за время At через этот элемент, заполнят элемент объема Fa в виде цилиндра с основанием dS и ребрами, величина и направление которых определяются вектором v At. Объем этого элемента равен vn At dS и поэтому
Iim -гт-^ Ф (г, t + At) dV = \ фг>„ dS д<~о Д2 Jj I
На части поверхности .Sa нормальная составляющая скорости ип отрицательна, поэтому элемент объема Vs будет равен — vnAt dS и поэтому
Hm Д.t ф (г, t)dV = - \ фvndS 4^0 ?. s,
Принимая все полученные формулы во внимание и составляя
dh ,. АЛ
-TT- = lim -7-7-dt Д1-И>
17 h- е. кочин 258
векторный анализ
Гл. TI
мы и получим, замечая, что S = Sі + 5а, полную производную от интеграла Із:
W^dv= [^dv (5>
v ir s
Мы нарочно подробно провели все рассуждение; на самом деле все это рассуждение коротко можно передать следующими словами. Изменение интеграла Is происходит от двух причин: от изменения функции ф и от изменения объема V. Если бы изменения объема V не происходило, то за время dl функция ф получила бы приращение
а интеграл Ia приращение
dVdt
V
что и дает первый член формулы (5). Пусть теперь функция ф не меняется, а изменяется только объем V; это может происходить только потому, что некоторые частицы выходят или входят через поверхность S.
Через элемент dS этой поверхности за время dt выходит объем сплошной среды vn dt dS; это увеличение объема V доставит интегралу /з приращение фр„ dt dS, а все приращение интеграла /з, происшедшее от изменения объема V, будет, очевидно, равно
ффг>„ dS dl
откуда получается второй член формулы (5).
По теореме Гаусса-Остроградского, поверхностный интеграл можно преобразовать в объемный
dS = ^ div (ф v) dV
Следовательно, выражение для полной производной от объемного интеграла можно написать и в таком виде:
IfSvdv= U-S+div <ф y)]dV (6)
VV
Наконец, воспользовавшись формулой
div (ф, V) = ф div V 4- v.grad ф и формулой (1), можно переписать (6) также в следующем виде
I*«"= ИЗ-divv^ Р> переменные поля в сплошной среде
269
Совершенно аналогичная формула получается для векторной функции
а (г, г):
4-\&dV= $(аГ +adivrK (8)
V V
3. В качестве применения полученной формулы дадим новый вывод гидродинамического уравнения неразрывности (один вывод мы уже имели в § 14).
Рассматривая движение газа, обозначим через р (г, () его плотность. Тогда ясно, что масса M газа, заключенного в объеме V, будет
M = ^ р (IV
V
Бели объем V — жидкий, то масса газа M должна сохранять постоянное значение и, следовательно,
iS- = O
Применяя формулу (7), получим
S (-?+ PdivvjdF = O
V
Так как объем V можно брать совершенно произвольным, то полу, чается, что
if 4- P div V = О (9)
А это и есть уравнение неразрывности.
В качестве второго примера примем в формуле (7) <р = 1, тогда для величины жидкого объема V получим формулу
dV dt
^ div V dV (10)
Is —
В частности, если принять жидкий объем бесконечно малым я равным 6F, то получим формулу
6T? = divv (")
4. Перейдем теперь к вычислению полной производной от поверхностного интеграла по какой-либо жидкой незамкнутой поверхности S:
ndS (12)
s
Изменение потока вектора а через жидкую поверхность S может происходить от двух причин: 1) от изменения самого вектора а и 2) от изменения жидкой поверхности S. От изменения вектора а в зависимости от времени ? получается приращение интеграла
dyh = Yirds ^t (13)
S
17* 260
векторный анализ
Гл. U
Пусть теперь вектор а не меняется, а изменяется только жидкая поверхность S\ новое положение ее через промежуток времени dt обозначим через Л; тогда, очевидно,
d-Jt = ^ a JS — ^ andS
