Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Теория функций комплексной переменной
Автор: Свешников А.Г.Другие авторы: Тихонов А.Н.
Издательство: М.: Наука
Год издания: 2004
Страницы: 321
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115
Скачать:
А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов теория функций комплексной переменной
из серии
КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Под редакцией А. H ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА, А. Г. СВЕШНИКОВА
ВЫПУСК 4 оглавление
От редакторов серии 8
Предисловие к третьему изданию 9 Предисловие к первому изданию 10 Введение 11
Глава 1. Комплексная переменная и функции комплексной переменной § 1. Комплексное число и 12
действия над комплексными числами
1. Понятие комплексного числа (12).
2. Действия над комплексными числами (12).
3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел (14).
4. Извлечение корня из комплексного числа (15).
§ 2. Предел последовательности 17 комплексных чисел
1. Определение сходящейся последовательности (17).
2. Критерий Коши (19).
3. Бесконечно удаленная точка (20).
§ 3. Понятие функции 21
комплексной переменной. Непрерывность
1. Основные определения (21).
2. Непрерывность (23).
3. Примеры (26).
§ 4. Дифференцирование 30
функции комплексной переменной
1. Определение. Условия
Коши—Римана (30).
2. Свойства аналитических функций (33).
3. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной (35).
4. Примеры (36).
§ 5. Интеграл по комплексной 38 переменной
1. Основные свойства (38).
2. Теорема Коши (41).
3. Неопределенный интеграл (43).
§ 6. Интеграл Коши 46
1. Вывод формулы Коши (46).
2. Следствия из формулы Коши (48).
3. Принцип максимума модуля аналитической функции (49).
§ 7. Интегралы, зависящие от 51 параметра
1. Аналитическая зависимость от параметра (51).
2. Существование производных всех порядков у аналитической функции (53).
Глава 2. Ряды аналитических 57 функций
§ 1. Равномерно сходящиеся 57
ряды функций комплексной переменной
1. Числовые ряды (57).
2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость (58).
3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы
Вейерштрасса (61).
4. Несобственные интегралы,
зависящие от параметра (65).
§ 2. Степенные ряды. Ряд
Тейлора
1. Теорема Абеля (66).
2. Ряд Тейлора (70).
§ 3. Единственность определения аналитической функции
1. Нули аналитической функции (74).
2. Теорема единственности (75). Глава 3. Аналитическое продолжение. Элементарные функции комплексной переменной
§ 1. Элементарные функции комплексной переменной. Продолжение с действительной оси
1. Продолжение с действительной оси (79).
2. Продолжение соотношений (83).
3. Свойства элементарных функций (86). 4. Отображения элементарных функций (90).
§ 2. Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности
1. Основные принципы. Понятие римановой поверхности (94).
2. Аналитическое продолжение через границу (97).
3. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение через границу (98).
4. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение с помощью степенных рядов (103).
5. Правильные и особые точки аналитической функции (105).
6. Понятие полной
аналитической функции (109).
Глава 4. Ряд Лорана и 111
66 изолированные особые точки
§ 1. Ряд Лорана 111
1. Область сходимости ряда Лорана (111).
74 2. Разложение аналитической функции в ряд Лорана (113). § 2. Классификация 115
изолированных особых точек однозначной аналитической
79 функции
Глава 5. Теория вычетов и их 123 приложения
§ 1. Вычет аналитической 123
79 функции в изолированной особой точке
1. Определение и формулы вычисления вычета (123).
2. Основная теорема теории вычетов (125).
§ 2. Вычисление определенных 128 интегралов с помощью вычетов
1. Интегралы вида
2Jt
94 Ja(COS0,sin0>/e (128).
о
2. Интегралы вида ^f(x)dx (130).
3. Интегралы вида \eiax f (x)dx.
Лемма Жор дана (132).
4. Случай многозначных функций (138).
§ 3. Логарифмический вычет 143
1. Понятие логарифмического вычета (143).
2. Подсчет числа нулей аналитической функции (145).
Глава 6. Конформное 148
отображение
§ 1. Общие свойства 148
1. Определение конформного отображения (148).
2. Простейшие примеры (152).
3. Основные принципы (155).
4. Теорема Римана (160).
§ 2. Дробно-линейная функция 163 § 3. Функция Жуковского 173
§ 4. Интеграл Шварца— 175
Кристоффеля. Отображение многоугольников
Глава 7. Применение 184
аналитических функций к решению краевых задач § 1. Общие положения 184
1. Связь аналитических и гармонических функций (184).
2. Сохранение оператора Лапласа при конформном отображении (185).
3. Задача Дирихле (187).
4. Построение функции источника (190).
§ 2. Приложения к задачам 191
механики и физики
1. Плоское установившееся движение жидкости (191).
2. Плоское электростатическое поле (203).
Глава 8. Основные понятия 212
операционного исчисления § 1. Основные свойства 212
преобразования Лапласа
1. Определение преобразования Лапласа (212).
2. Изображение элементарных функций (216).
3. Свойства изображения (218).
4. Таблица свойств изображений (226).
5. Таблица изображений (226).
§ 2. Определение оригинала по 227 изображению
1. Формула Меллина (228).
2. Условия существования оригинала (231).
3. Вычисление интеграла Меллина (234).
