Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
является однозначной в области О. Тогда функция w = f(z) осуществляет взаимно однозначное отображение области S на область О.
Функция f(z) называется однолистной функцией в области S, если в различных точках z этой области она принимает различные значения.
Из этого определения следует, что однолистная функция осуществляет взаимно однозначное отображение.
2. Непрерывность. Перейдем к понятию непрерывности функции комплексной переменной. Пусть функция f(z) определена на некотором
w (z) = и (х, у) -f- Iv (х, у).
(1.9)
Z = ф (w)
(1.10)
24
функции комплексной переменной
[гл. 1
множестве Е. Рассмотрим различные последовательности точек этого множества \zn], сходящиеся к некоторой точке Z0 и состоящие из точек Zn, отличных*) от точки z0 (zn Ф Z0), и соответствующие им последовательности значений функции \f(zn)}. Если независимо от выбора последовательности {zn} существует единственный предел Hm f(zn) = W0, то этот предел называется предельным
значением, или пределом, функции /(г) в точке z0, что записывается в виде
Um/(Z) = W0. (1.11)
Часто употребляется и другое **) определение понятия предельного значения (или предела) функции.
Число W0 называется предельным значением функции f(z) в точке z0, если для любого є > 0 можно указать такое 6 >¦ О, что для всех точек z є ? и удовлетворяющих условию О < I z — Z0 J < б, имеет место равенство \f(z) — w]t | ¦< є.
Докажем эквивалентность этих определений. Пусть функция f(z) удовлетворяет второму определению. Возьмем произвольное положительное число є и выберем для него соответствующее б (є). Рассмотрим произвольную последовательность {zn}->z0 и найдем 7V[6(e)] = =/V(e), начиная с которого 0 < J Zn — Z01 ¦< б. Тогда по условию \f(zn) —wf)\<C г для n^N(s); а так как є > 0 —любое, то это в силу произвольности выбора последовательности [zn\ и означает, что Hm /(Zn) = W0, т. е. функция f(z) удовлетворяет и первому опре-
делению. Тем самым из второго определения следует первое.
Докажем теперь, что из первого определения вытекает второе. Предположим, что это не имеет места. Тогда можно указать такое е() > 0, что для любого б„ > 0 найдется такая точка Zn <= Е, что при 0 < I zn — Z01 < б„ будет выполнено неравенство | f(zn) — w01 >є0. Выберем стремящуюся к нулю последовательность {б„} -> 0 и соответствующую ей последовательность точек {zH}, удовлетворяющих приведенным выше неравенствам. Очевидно, {zn} -> z0, а последовательность {/(Zn)} не сходится к числу W0, так как все члены этой последовательности отличаются от W0 больше чем па е0. Но полученный результат противоречит первому определению. Тем самым сделанное предположение не имеет места, т. е. из первого определения вытекает второе. Эквивалентность обоих определений доказана.
Так же, как и в случае действительной переменной, важную роль играет понятие непрерывности функции. Начнем с понятия неирерыв-
*) При этом предполагается, что точка Z0 является точкой сгущения множества Е, т. е. существуют последовательности {Zn] точек этого множества, сходящиеся к точке г0.
**) Заметим, что это определение, в отличие от первого, имеет смысл лишь для конечных значений Z0 и ш0.
понятие функции. непрерывность
25
пости в точке. При этом будем считать, что точка Z0, в которой определяется это понятие, обязательно принадлежит множеству E задания функции.
Функция f(z), заданная на множестве Е, называется непрерывной в точке Z0^E, если предельное значение этой функции в точке Z0 существует, конечно и совпадает со значением f(z0) цзункции f(z) в точке z0, т. е. Hm f(z) = f(z0).
Это определение непрерывности распространяется как на внутренние, так и на граничные точки множества *).
Если функция f(z), заданная на множестве Е, непрерывна во всех точках этого множества, то говорят, что функция f'(z) непрерывна на множестве Е. В частности, мы будем рассматривать функции, непрерывные в области, в замкнутой области и на кривой. Подчеркнем еще раз, что в силу данных выше определений следует рассматривать предельные значения функции f(z) лишь на последовательностях точек, принадлежащих данному множеству (в последних случаях замкнутой области, кривой и т. д.).
С помощью є — б-определения предельного значения условия непрерывности функции f(z) в точке Z0 можно также сформулировать следующим образом. Функция f(z) непрерывна в точке z0, если для любого е>0 можно указать такое б > О, что для всех точек z^E, удовлетворяющих неравенству \z — z0\<^b, имеет место неравенство \f(z)— f(z0)\<C&. Геометрически это означает, что функция комплексной переменной, непрерывная в некоторой точке **) Z0, ставит в соответствие каждой точке из б-окрестности -точки Z0 некоторую точку, принадлежащую е-окрестности точки ^0=ZOo)-
Из непрерывности функции комплексной переменной f(z) = = u(x,y)-\-iv'x, у) следует непрерывность ее действительной и(х,у) и мнимой v(x, у) частей по совокупности переменных х, у ***). Имеет место и обратное утверждение, т. е. если и (х, у) и v(x, у) суть непрерывные функции по совокупности переменных х, у в некоторой точке (хе., у0), то f(z) = u(x, y)-\-iv(x, у) является функцией комплексной переменной z = x-\-iy, непрерывной в точке Z0 = X0-I--f- iy0. Данные утверждения являются следствием того, что
