Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
интегралы, зависящие от параметра
53
под знаком интеграла *):
\ uxdl — vxdr\, с
jj iiydl — Vydx\.
с
Сами функции Ux и Uy являются непрерывными функциями переменных х, у в области $**). На основании аналогичных свойств функции V(x, у) и используя условия Коши —Римана для функции cp(z, ?), получим
Vy(x, у) Vx(X, у)
Таким образом, для F (г) выполнены условия Коши — Римана (частные производные функций U(х, у) и V(x, у) непрерывны и связаны соотношениями (1.67)), что и доказывает аналитичность F (z) в области 5.
Заметим, что
F'(z)=Ux(x, у) + IVx(X, у) =
= Jj nxd\ - ¦Mr) + і ^ vxd\ + uxd4) = \ fz (z, ?) dt. (1.68)
CCC
Отсюда следует возможность вычисления производной от интеграла путем дифференцирования подынтегральной функции по параметру.
При этом, если ^ удовлетворяет тем же условиям а) и б), что и
cp(z, Q, то F' (z) также является аналитической функцией в области 5.
2. Существование производных всех порядков у аналитической функции. Рассмотренное свойство интегралов, зависящих от параметра, позволяет установить важные характеристики аналитических функций. Как мы видели, значение функции f(z), аналитической в некоторой области а, ограниченной контуром Г, и непрерывной в замкнутой области во внутренних точках этой области может быть выражено через граничные значения с помощью интеграла Коши:
/<г>=2И ?SrfC- (L69)
г
Рассмотрим в области 5 некоторую замкнутую подобласть !У, расстояние всех точек которой от границы Г области 5 больше
*) Об условиях дифференцируемое™ по параметру интеграла, зависящего от параметра, см. вып. 2, гл. 10. **) См. вып. 2, гл. 10.
Ux(X, у) = Uy (X, у) =
54
функции комплексной переменной
[гл. 1
некоторого положительного числа d (j z — ? | d > 0). Функция
является аналитической функцией z в области У, причем ее частная производная ~ = / ^ в этой области является непрерывной функ-
OZ (u, Z)
цией своих аргументов. Тем самым в силу общих свойств интегралов, зависящих от параметра, во внутренних точках области У производная f (z) может быть представлена в виде
f^=M^y^ (170)
г
Интеграл (1.70) опять является интегралом, зависящим от параметра, причем его подынтегральная функция обладает теми же свойствами, что и подынтегральная функция интеграла (1.69). Следовательно, f'(z) является аналитической функцией z в области У, причем для ее производной справедлива формула
/"W-aSAdC- (1-71)
г
Так как для любой внутренней точки z области $ может быть построена соответствующая замкнутая подобласть У, то формулы (1.70) и (1.71) справедливы в любой точке z. Имеет место и более общая теорема.
Теорема 1.9. Пусть функция f(z) является аналитической в области S и непрерывной в замкнутой области 5. Тогда во внутренних точках области 5 существует производная любого порядка функции f(z), причем для нее имеет место формула
г
Для доказательства этой теоремы достаточно повторить предыдущие рассуждения соответствующее число раз.
Итак, если функция f(z) является аналитической функцией в области $, то в этой области функция f(z) обладает непрерывными производными всех порядков. Это свойство аналитической функции комплексной переменной существенным образом отличает ее от функции действительной переменной, имеющей непрерывную первую производную в некоторой области. В последнем случае из существования первой производной, вообще говоря, не следует существование высших производных.
интегралы, зависящие от параметра
55
Рассмотрим ряд важных следствий установленного свойства аналитической функции комплексной переменной.
Теорема 1.10 (Морера). Пусть функция f(z) является непрерывной в односвязной области 5 и интеграл от f(z) по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему 5, равен нулю. Тогда f(z) является аналитической функцией в области
Доказательство. Выше*) было доказано, что при условиях теоремы функция
F(Z)= If(OdZ,
Z0
где Z0 и z — произвольные точки области 3, а интеграл берется по любому пути, соединяющему эти точки в области 3, является аналитической в этой области функцией, причем F (z) = f(z). Но, как только что было установлено, производная аналитической функции также является аналитической функцией, т. е. существует непрерывная производная функции F (z), а именно функция F" (z) =f'(z), что и доказывает теорему.
Отметим, что теорема 1.10 является в определенном смысле обратной по отношению к теореме Коши. Ее легко обобщить и на многосвязные области.
Теорема 1.11 (Лиувилля). Пусть на всей комплексной плоскости функция f(z) является аналитической, а ее модуль равномерно ограничен. Тогда эта функция f(z) тождественно равна постоянной.
Доказательство. Запишем значение производной /' (г) в произвольной точке z по формуле (1.70):
причем интегрирование будем вести по окружности некоторого радиуса R с центром в точке z, т. е. |? — z\=R. По условию теоремы существует такая константа М, что |/(?)|=^уИ независимо OtR Поэтому
о?
Так как радиус R можно выбрать сколь угодно большим, a f'(z) не зависит от R, то \f'(z)\=0. В силу произвольности выбора точки z заключаем, что \f'(z)\~Q на всей комплексной плоскости. Отсюда следует, что f(z) == const.
