Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1. Связь аналитических и гармонических функций. Пусть в области S комплексной плоскости z задана аналитическая функция J~(z) = u(x, y)-\-iv(x, у). Тогда всюду в этой области функции и и v связаны условиями Коши —Римана:
Так как аналитическая функция имеет в области 1S производные всех порядков, то и действительные функции и (х, у) И V (х, у) имеют в соответствующей области плоскости х, у частные производные любого порядка. Это позволяет дифференцировать выражения (7.1) по переменным х, у любое число раз. Продифференцировав первое из равенств (7.1) по х, второе — по у и сложив, получим
§ 1. Общие положения
du_dv
дх ду
du_ dv
ду дх'
(7.1)
O2u
дх2
(7.2)
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
185
Аналогично продифференцировав первое из равенств (7.1) по у, второе — по X и вычтя одно из другого, получим
откуда следует, чго функции и(х, у) и v(x, у) являются гармоническими в данной области плоскости х, у. Итак, действительная и мнимая части функции f{z), аналитической в области S, являются гармоническими функциями в соответствующей области плоскости х, у. При этом данные гармонические функции связаны условиями (7.1). С другой стороны, если в области S плоскости х, у заданы две гармонические функции и (х, у) и v(x, у), удовлетворяющие в этой области условиям (7.1), то функция f(z) = u(x,y)-\-iv(x, у) комплексной переменной z = X -\- Iy является аналитической в соответствующей области плоскости z. Тем самым необходимым и достаточным условием аналитичности функции f(z) = u(x, y)-iriv(x, у) в области S является требование, чтобы функции и (х, у) и v (х, у) были гармоническими и удовлетворяли условиям (7.1) в соответствующей области плоскости х, у. В гл. 1 (см. стр. 34) было показано, что заданием лишь одной действительной (или одной мнимой) части аналитической функции комплексной переменной последняя определяется с точностью до постоянного слагаемого. Отсюда следует, что все аналитические функции комплексной переменной, для которых заданная гармоническая функция двух действительных переменных является действительной (или мнимой) частью, различаются только на аддитивную постоянную.
Установленная связь между аналитическими и гармоническими функциями позволяет использовать для изучения различных свойств гармонических функций свойства аналитических функций. Так, например, из формулы среднего значения аналитической функции (см. гл. 1, стр. 48) непосредственно получается формула среднего значения для гармонической функции
J н(|, rOds, (7.4)
где точка х0, у0 является центром круга CRo радиуса R0, целиком лежащего в области гармоничности функции и (х, у).
2. Сохранение оператора Лапласа при конформном отображении. Пусть в области S плоскости х, у задана гармоническая функция и(х, у); т. е.
* + = <7-5>
С помощью невырожденного преобразования независимых неременных 1 = У), ц = ц (х, у), (7.6)
186
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
отобразим область S плоскости х, у на новую область S плоскости т]. Заметим, что задание двух действительных функций (7.6), двух действительных переменных х, у, эквивалентно заданию в области S комплексной плоскости г одной функции ? =f(z) = It1(X, у)+/т|(х,у) комплексной переменной z = x-\-iy. При этом функция f{z) осуществляет отображение области S комплексной плоскости z на область S' комплексной плоскости ?. В силу условия (7.7) уравнения (7.6) однозначно разрешимы относительно старых переменных, и тем самым в области 2Р, плоскости g, т) определена функция U(I,, r\) = и [х (?, ц), у (|, г])]. Выясним, при каких условиях на преобразование (7.6) функция U (|, г\) будет гармонической функцией переменных |, т|. Предполагая, что функции (7.6) дважды непрерывно дифференцируемы в области S, выразим частные производные второго порядка от функции и(х, у) по старым переменным через производные от функции U (?, T]) по новым переменным:
дх* - д%* ^х) "т" д\ дц ^хУ]х+ drf {Г]х) + *хх + от)" 11v-v
(7.8)
Подставив эти выражения в (7.5), получим следующее уравнение для функции U (?, т)):
|г (Й + Ш + 2 |l~ (?*Ч* + Iv1Iv) + ^ (чї + 1Il) +
+ O| + lyy) + щ Ol** + Л vv) = О- (7.9)
Для того чтобы это уравнение было уравнением Лапласа, должны выполняться следующие соотношения:
S**+ SyJ = 0, T1**+ V = 0' (7Л°)
1*% + ^% = 0 (7.11)
Ії + Й=чї + Д^0. (7.12)
Соотношения (7.10) означают, что функции |(х, у) и г) (х, у) должны быть гармоническими в области S. Перепишем (7.11) в виде
-1J- = Ii(X, у), (7.13)
Чу Чх
где ц (х, j/) — некоторая, пока неизвестная функция. Тогда соотношение (7.12) дает
?1 + 1» = И-2 № +1I*] = 1T* +1I^ Ф О-
Отсюда [і2 (х, у) = 1 при х, у ^S. Таким образом, неизвестная функция [і (х, у) определена: ц. = ± 1. При ц, = 1 соотношения (7.13) дают
I* = Цу> Ьу= ч*>
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
187
т. е. гармонические в области S функции \ и т) должны удовлетворять в этой области условиям Коши — Римана. Это означает, что функция f (z) = \(x, y)-\-ir\(x, у) должна быть аналитической функцией в области S комплексной плоскости z. Заметим, что из (7.7) и (7.12) следует, что отображение области S на 'S' должно быть взаимно однозначным, а производная функции f(z) должна удовлетворять условию f'(z)^0 всюду в области S. Тем самым отображение области S плоскости z па область 'S' плоскости ?, осуществляемое функцией f(z), должно быть конформным. При (j, = —1 соотношения (7.13) дают
