Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
точку z в точку W= —- (рис. 1.5, 1.6). При этом точки плоскости г,
.іежащие вне единичного круга, переходят в точки, лежащие внутри единичного круга плоскости w, и наоборот.
3. Рассмотрим функцию
W= f (z) = z2. (1.14)
Эта функция является однозначной функцией комплексной переменной z, определенной на полной комплексной плоскости z. Для изучения
*) Инверсией (или преобразованием обратных радиусов) в круге радиуса а называется такое преобразование, при котором каждой точке внутри (вне) круга ставится в соответствие точка вне (внутри) круга, лежащая на луче, проведенном из центра круга в данную точку так, что произведение расстояний от этих точек до центра круга равно квадрату радиуса круга.
28
функции комплексной переменной
[гл. 1
ее свойств опять удобно представить комплексные числа в показательной форме: z = pei(f, w = rec$ = p2ei2f. Отсюда легко заключить, что точки плоскости z, лежащие на луче, составляющем угол ср с положительным направлением действительной оси, переходят в точки плоскости w, лежащие на луче, составляющем с положительным направлением действительной оси угол 2ср. Поэтому точкам z и — z, аргументы которых различаются на я, а модули одинаковы, соответствует одно и то же значение w (еал = cos 2я +1 sin 2я = 1). Тем самым обратная функция оказывается многозначной. Рассмотрим подробнее отображение, осуществляемое функцией w = z2. Верхняя полуплоскость z вместе с действительной осью переходит в полную
Z=O
,7
/ \ \ \ \
\ \ \ \ 1 / Ni г / \^
— —'
Рис. 1.5.
Рис. 1.6.
плоскость w. Положим для определенности, что в верхней полуплоскости аргумент z заключен в пределах 0 <; ср < л. Тогда различным точкам области 0 << ср ¦< я соответствуют различные значения w. Такая область изменения независимой переменной, различным точкам которой соответствуют различные значения функции, называется областью однолистности функции. В предыдущих примерах областью однолистности являлась вся область задания функции; в данном случае для функции W = г2, областью задания которой является полная комплексная плоскость z, областью однолистности служит полуплоскость. Отметим, что в рассматриваемом случае границы области однолистности — лучи ср = 0 и ср = я — переходят в одну и ту же прямую — положительную часть действительной оси плоскости W. Продолжая наши рассмотрения, легко показать, что функция w = z2 производит отображение и нижней полуплоскости z вместе с действительной осью на полную плоскость w. Тем самым обратная функция
Z = Vw, (1.15)
определенная на полной плоскости w, уже не является однозначной — одной и той же точке плоскости w соответствуют две различные точки плоскости z: одна — в верхней, другая — в нижней полуплоскости.
Чтобы изучить отображение, осуществляемое данной функцией, воспользуемся опять показательной формой записи .комплексного
понятие функции. непрерывность
29
числа: w = гЛ Тогда, согласно правилу извлечения корня из комплексного числа, мы получаем два различных значения функции
, ч л Г' \ <*+2я*> п с\л\ і ч
z(w): zk=yrel (Ze = 0,1) (заметим, что arg Z1 — arg Z0 = л).
Рассмотрим на плоскости w некоторую замкнутую кривую С, не имеющую самопересечений. Фиксируем па ней точку w0, которой припишем определенное значение аргумента Ip0, найдем z0(w0), Z1(W0) и будем следить за изменением функций Z0 (ге>) и Z1 (w) при непрерывном движении точки w но кривой С. Аргумент точки w на кривой С изменяется непрерывно. Поэтому, как легко видеть, функции Z0(W) и Z1(W) являются непрерывными функциями w на кривой С. При этом возможны два различных случая. В первом случае кривая С не содержит внутри точку w = 0. Тогда после обхода кривой С аргумент точки W0 вернется к первоначальному значению arg W0 = і|з0. Следовательно, и значения функций z0 (w) и Z1 (w) в точке W = W0 после обхода кривой С будут равны их первоначальным значениям. Тем самым па кривой С в этом случае определены две различные однозначные функции комплексной переменной w:
лГ Ч лГ 4(*+2л) /,
Z0 = у re 2 и Z1 = у re 1 ("ф изменяется непрерывно на кри-
вой С, начиная от значения г|зп в точке W0). Очевидно, если область D плоскости w обладает тем свойством, что любая замкнутая кривая в этой области не содержит точки w = 0, то в D определены две различные однозначные непрерывные функции z0(w) и Z1(W). Функции Z0 (w) и Z1 (w) называются ветвями многозначной функции z (w) = y~w.
Во втором случае кривая С содержит внутри точку w = 0. Тогда после обхода кривой С в положительном направлении значение аргумента точки W0 уже не вернется к первоначальному значению г|)0, а изменится на 2я: arg W0 = Tj)0 -f- 2л. Поэтому и значения функций z0 (w) и Z1 (w) в точке W0 в результате их непрерывного изменения после обхода кривой С уже не будут равны их первоначальным значениям. Более ТОЧНО, ПОЛуЧИМ Z0 (W0) = Z0 (W0) ein, Z1(W0) = Z1(W0) еіл.
То есть функция z0(w) перейдет в функцию Z1(W), и наоборот.
Если для точки Z0 можно указать такую е-окрестность, что при однократном обходе точки Z0 по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в этой е-окрестиости, одна ветвь многозначной функции переходит в другую, то точка Z0 называется точкой разветвления (ветвления) данной многозначной функции. В окрестности точки разветвления отдельные ветви многозначной функции уже нельзя рассматривать как различные однозначные функции, поскольку при обходе точки разветвления их значения меняются. В рассматриваемом примере точкой разветвления является точка w = 0.
