Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим пример применения изложенного метода.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
со
U(X) = K \e-\x-s>u(s)ds, (54)
о
ядро которого имеет ВИД V (D =
Найдем преобразование Фурье функции v (|):
со
V(^) = Ju [ V (g)e'*5 = -. (55)
v ' V 2л J Y 2л (k"- + 1) v ;
— со
Функция V (k) (55) является аналитической функцией комплексной переменной к в полосе — 1<1тА<;1. Представим выражение
L(k)=\-Y^KV(k)=^^- (56)
278
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
и, согласно (31),
OO -f ІХ —OO ix
ГДЄ LL < T < 1.
Для вычисления интеграла (60) можно применить методы гл. 5. Замкнув контур интегрирования при х>0 дугой полуокружности в нижней полуплоскости и оцепив интеграл по этой дуге с помощью леммы Жордана, после элементарных вычислений получим
H+ (X) = D |cos У 2\ - 1 X + —-і___Л
(61)
где D — новая постоянная. При 0.< X < -g- это решение экспоненциально возрастает с ростом х, при 1 <; А < оо — ограничено на бесконечности.
Итак, уже пример решения однородного интегрального уравнения (38) выявляет основную идею метода Винера — Хопфа, заключающуюся в представлении с помощью факторизации исходного функционального уравнения (47) в виде целой функции' (49). Дадим теперь обоснование возможности факторизации аналитической функции комплексной переменной, причем будем исходить из несколько более общего функционального уравнения, чем уравнение (47).
4. Общая схема метода Винера—Хопфа. В общем случае задача, решаемая методом Винера — Хопфа, сводится к следующей.
Требуется определить функции 1P+(Zs) и W_(k) комплексной переменной к, аналитические соответственно в полуплоскостях 1т/е>т_ и 1тА<[т+ (т_<т+), стремящиеся к нулю при J/г; —>сов своих областях аналитичности и удовлетворяющие в полосе (т_ <; Im к < т+) функциональному уравнению
А (k) T+ (к) + В (к) 4L (к) + С (к) = 0. (62)
Здесь А (к), В (к), С (k) — заданные функции комплексной переменной к, аналитические в полосе т_<1т?<;т+, причем А (к) и В (к), отличны от нуля в этой полосе.
Основная идея решения этой задачи основана на возможности факторизации выражения А(к)/В(к), т. е. возможности представить его в виде
A(k)_L+(k)
B(k)~L.(ky (06)
где функции L+(k) и L_(k) являются аналитическими и отличными от нуля соответственно в полуплоскостях Im к >т_ и Im к < х\, причем полосы т_<1тА<;т+ и %'_ <1гпа<;т+ имеют, общую часть. Тогда
МЕТОД ВИНЕРА — ХОПФА
279
с помощью (63) уравнение (62) можно переписать в виде
L+ (A) W+ (к) +1_ (к) W_ (к) + L_ (к) ?Ц = 0. (64)
Если последнее слагаемое в (64) можно представить в виде
где функции D+ (к) и Д_ (к) являются аналитическими в полуплоско-сгях Im А > ті и 1т?<;т-)- соответственно, и все три полосы т_< < im k < T+1 ті < Im к <; т+ и ті ¦< Im А < т+ имеют общую часть — полосу ті < Im А < х\, то в этой полосе имеет место функциональное уравнение
L+ (к) W+ (к) + D+ (к) = -L_ (A) W_ (к) - D_ (к). (66)
Левая часть (66) представляет собой функцию, аналитическую в полуплоскости т__<1тА, правая — функцию, аналитическую в области 1тА<т°-. Из равенства этих функций в полосе x'L < Im k < х'\- следует, что существует единственная целая функция P (к), совпадающая соответственно с левой и правой частями (66) в областях их аналитичности. Если все функции, входящие в правые части (63) и (65), растут на бесконечности в своих областях аналитичности не быстрее, чем kn+1, то из условия 1Pj-(A)-VO при jAj->co следует, что P(A) является полиномом Рп(к) степени не выше п. Тем самым равенства
4-(k) = ~P"f щ-{к) (68)
определяют искомые функции с точностью до постоянных. Последние могут быть найдены из дополнительных условий задачи.
Итак, применение метода Винера — Хопфа основано на представлениях (63) и (65). Возможность этих представлений обеспечивается следующими леммами.
Лемма 1. Пусть функция F (А) является аналитической в полосе т_ < Im А < T+, причем в этой полосе F (А) равномерно стремится к нулю при \k\—>-оо. Тогда в данной полосе возможно представление
F(k) = F+(k) + F_(k), (69)
где функция F+(Щ —аналитическая в полуплоскости 1тА>т_, а функция F_(k) — e полуплоскости 1тА<т,_.
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку A0, лежащую в данной полосе, и построим прямоугольник abed, содержащий точку A0, внутри и ограниченный отрезками прямых Im А = т1, Im А =
280
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
= ті, Re & = —A, Re k = А, где т_ < ті < т+< T4, (рис. 2). По формуле Коши
Л + ?т' Л — ft',
F(Ao)
—A -f Ix' А -+ гг'
« 5
—А 4 (Y
—Л J- /т'
2лі
Л — (T'
А 4- /т'
Перейдем в (70) к пределу при Л —*¦ со. Так как по условию леммы F(к) равномерно стремится к нулю при |А;->со, то предел второго и четвертого слагаемых в правой части (70) равен нулю, и мы получим
F(A0) = F+(A0)+ F_(*o). (71)
где
со 4 /т'
F+(A0) =
2л(
(72)
F_(*o) = -
2лі'
f (D
(73)
Интегралы (72) и (73), как интегралы, зависящие от параметра *), определяют аналитические функции комплексной переменной k0 при
что точка kn не
Рис. 2.
контуре интегри-
условии, лежит па рования.
В частности, F+(Z4,) является аналитической функцией в полуплоскости Im k0 > ті, a F_ (Ze0) — в полуплоскости 1т/?0<;т+ В силу произвольности выбора точки /?0 и прямых ті и т+ соотношения (71)—(73) и доказывают лемму.
