Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
со со
/ (k) = —L { и (S) ds [ eikxv (X - S) dx. (8)
| 2л. .) J
—со —со
Сделаем замену переменной интегрирования, положив х — s—t. Тогда
*) Подробно этот вопрос изложен, например, в кн.: В. T и т ч м а р ш, Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948.
**) Определение преобразования Фурье и его основные свойства см. вып. 2, стр. 518.
МЕТОЛ ВИНЕРА - ХОПФА
269
в силу (4) и (5)
со со
l(k) = -k= ^ u(s)eiksds ^v(()eikfdl=kV2liU(k)V(k). (9)
—со —со
Формула (9) фактически означает, что в случае преобразования Фурье справедлива формула преобразования свертки, полученная нами для одностороннего преобразования Лапласа (см. стр. 223). Теперь формулу (7) можно переписать в виде
U(k) = F(k) + k Y2л U (k) V (k). (10)
Итак, с помощью преобразования Фурье нам удалось свести решение исходного интегрального уравнения (1) к решению алгебраического уравнения (10) для преобразования Фурье искомого решения. Решение последнего уравнения не представляет труда:
U(k)= F(kl (11)
1-М 2л V (к) '
Тем самым преобразование Фурье (11) решения исходного интегрального уравнения, оказалось выраженным через преобразования Фурье заданных функций — ядра и правой части уравнения. Само решение может быть легко выражено через его преобразование Фурье с помощью известной формулы обратного преобразования *):
со со
и (х) = -J- ( U (k) е-ікх dk = -L І F{k) е'1кХ dk. (12) I' 2я J } 2л J 1-Я) 2л V (A-)
—со —со
Формула (12) фактически решает задачу, однако она не всегда удобна для использования, так как требует вычисления преобразования Фурье F (k) для каждой правой части f(x). Во многих случаях более удобным оказывается представление решения неоднородного интегрального уравнения через ядро (резольвенту) исходного уравнения:
со
и (x)^=f(x) + 7, \ g(x-s)f(s)ds. (13)
—OO
Чтобы получить требуемое представление, заметим, что формула (10) может быть преобразована к виду
U (k) —F (k) = X |^2jtF (k) Q (k), (14)
где
Q(k) =-Ш-. (15)
1-Х! 2л V (к)
*) См. вып. 2, стр. 51S.
270 ПРИЛОЖЕНИЕ 2
откуда
со со
^Wu S W-Mdk-l- J eg^dk. (22)
Из соотношения (14) с помощью формулы обратного преобразования (12), замечая, что в силу формулы (9) оригиналом функции У~2п F (k) Q (k) является функция
] g(x-s)f(s)ds,
—CQ
где
OO —OO
получим
OO
и (je) = f{x) + К \ r{x-s)/(S) ds. (13)
—со
Таким образом, для определения решения исходного интегрального уравнения (1) достаточно найти функцию g(t), определенную формулой (16).
Функция g(t) представляет собой решение уравнения (1) при специальном виде функции f(x). Действительно, из формул (11) и (15) следует, что при U(k) = Q(k) функция F (k) равна V(k). Это озна--чает, что решением уравнения (1) при f(x) = v(x) является функция и(х) = g(x), т. е. резольвента уравнения (1) удовлетворяет интегральному уравнению
со
?(*)= $ v(x-S) g(s)ds+ v(x). (17)
—оо
Пример 1. Решить интегральное уравнение
OO
и(х) = К Jj v(x-s)u(s)ds+f(x), (18)
—со
где
u(*) = e--«i'!, а>0. (19)
Найдем функцию g(t), для чего вычислим
со
V(k) = ~ { <•-«!<; e""dt=*-L=-22—. (20)
—СО
Тогда по формуле (15)
от=-Ш— = 4=_^_ (21)
\-K\2nV(k) У 2л № + <хг — 2(хк'
МЕТОД ВИНЕРА —ХОПФА
271
Положим, что Х<-|-. Тогда интеграл (22) имеет смысл и легко
может быть вычислен с помощью теории вычетов путем применения леммы Жордана. После простых выкладок найдем
g(t) = ae-~===~ (23)
у а2 —2сЛ
и, окончательно,
u(x)=f(x)+ ^t—. \e-'*-'iy*=**f(s)ds. (24)
1 а2 — 2аХ J
—со
Итак, применение рассмотренного метода, сводящего решение исходного интегрального уравнения (1) к решению алгебраического уравнения, было связано с возможностью применения преобразования Фурье к входящим в это уравнение функциям и использования формулы свертки. Нашей ближайшей целью является перенесение рассматриваемых методов на решение интегральных уравнений с ядром, зависящим от разности аргументов, в случае полубесконечного промежутка
со
и(х) = К \v(x — s) и (s) ds + f(x). (25)
о
Однако для этого нам понадобятся некоторые аналитические свойства преобразования Фурье, в частности определение областей аналитичности преобразования Фурье функций действительной переменной, как убывающих, так и возрастающих на бесконечности.
2. Аналитические свойства преобразования Фурье. Пусть функция f(x) определена при всех значениях — оо <; х •< оо. Рассмотрим преобразование Фурье этой функции
со
F(k) = -±-= \f(x)e**dx. (26)
у 2л J
—со
При этом будем считать, что параметр к, входящий в преобразование (26), вообще говоря, может принимать и комплексные значения. Поставим вопрос о свойствах функции F(к), рассматриваемой как функция комплексной переменной k. Для этого представим функцию f(x) в виде
/(X)=Z+ (X) +/-(х), (27)
где функции /_ (х) и /+ (х) соответственно равны
U(X), х<0, ГО, л-<0,
[О, х>0, [/(х), x>Q.
272
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Преобразование Фурье F(A) функции f(x) при этом, очевидно, равно сумме преобразований Фурье F+(k), F-(к) функций f-,(x) и f-(x). Мы выясним аналитические свойства функции F(k), установив аналитические свойства функций F+ (к) и F- (к). Итак, рассмотрим функцию
