Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с решения первой задачи. Как известно **), для ее решения достаточно построить фундаментальную систему решений однородного уравнения (8.88). В качестве таковой выберем решения однородного уравнения
а0№ (0 + М4" ~ " (0 + -•• + М>* (0 = 0, k = 0, 1, ..., п - 1, (8.90)
удовлетворяющие начальным условиям
k = 0,
/ = 0, 1, л-1,
,... k = 0, 1, ..., п — 1,
Ч4"(0) = 6АУ, , n , . (8.91)
где
1, k=j:
6» = \0,k*j.
Очевидно, функции фА (0 образуют фундаментальную систему, так как их определитель Вронского при ^=O заведомо отличен от пуля. Решение задачи (8.88), (8.89) при /(0 = 0 через эти функции выражается наиболее просто:
« — і
*) Об условиях существования изображения см. стр. 212. **) См. вып. 3, стр. 99.
242
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
Для определения функций \\ik (t) применим операционный метод. Имея в виду, что функция арft (t) и все ее производные до л-го порядка удовлетворяют условиям существования изображения *), в силу (8.91) и формулы (8.38) получим
Ч>* (0 = Ъ (р), № (0=р/ К (P) -
ті
где
8W
О, j < й, *7 = \ 1,/>A.
Умножив обе части уравнения (8.90) па e~pt получим
Vb(P)-Pn(P) = Pk(P), где полиномы Pn (р) и /3;? (р) соответственно равны
;=1, 2, .... и,
и проинтегрировав по t, (8.92)
и, в частности,
Из (8.92)
' Pn (P)
aiP"
k = 0, 1,
• •+ an_(ft+i)-
^1(P) =
(8.93) (8.94) (8.95)
Pn (P) Pn (P) '
Формула (8.95) будет использована в дальнейшем. Оригиналы функций х?к (р) могут быть найдены по формуле Меллина:
ВД = ЫО = 2'7 \ еР1тЗ)с1р' х>а'
SM)
где прямая X= а проходит правее всех особых точек подынтегральной функции из (8.96). Так как функция (8.94) представляет собой отношение двух полиномов, то ее особыми точками могут быть лишь нули знаменателя Рп(р), причем все они являются полюсами. Кроме того, при t > 0 подынтегральная функция из (8.96), очевидно, удовлетворяет условиям леммы Жордана в левой полуплоскости Rep<ia. Поэтому
ыо=2Выч
1=1
„pi Pk (P)
' Pn(P)
(8.97)
где pi — нули полинома Pn (р).
*) Действительно, функции •^I, (/), как решения уравнения (8.90), являются гладкими функциями, растущими на бесконечности не быстрее, чем экспонента с линейным показателем. (Подробнее о свойствах решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами см. вып. 3.)
§ 3] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 243
Если все нули Pi полинома Рп(р) являются простыми, то, пред-впв его В BI (8.97) получим
ставив его в виде произведения Pn (р) = а0 ГД (р — pj), из формулы
/ = і
где
Pk (Pi)
«о JJ (Pi-Pj)
(8.98) (8.99)
Если нули pi полинома Pn (р) являются кратными, то разложение
т
полинома имеет вид Pn (р) = а0 J J (р — pifi, где а, —кратность соот-
і = і
ветствующего нуля, причем 2 ai~п- В этом случае, пользуясь пра-
I = і
вилом вычисления вычета в полюсе порядка k > 1 и вычисляя производную от произведения по формуле Лейбница, получаем
% (O = 2 чы (O epf,
I=I
где полиномы qki (t) имеют вид
Чи (O = h, kfl 1 ¦
A, Al^ 2+••• + ^0,.-1, ki,
причем коэффициенты bnh kt і вычисляются по формуле
1
d'n
Jm, к, і '
ml (с.; — m —1)! tfpm
я* (P)
«о П (Р — Рі)П'
(8.100)
(8.101)
(8.102)
р = Р,
Отметим, что нули pi полипома Рп(р) совпадают с пулями характеристического многочлена для уравнения (8.90). Поэтому формулы (8.98) и (8.100) дают представление каждого из частных решений уравнения (8.90), удовлетворяющих начальным условиям (8.91), через частные решения уравнения (8.90), полученные с помощью характеристического уравнения *).
Пример 1. Решить задачу Коши
»0V)
+ 2у"+у = 0, у (0)=3'' (O)=J." (0) = 0, у"' (0) = 1.
*) О характеристическом уравнении см. вып. 3, стр. 107.
244 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. 8
Гф] ,= 2 (sin'~'cos')- (8.104)
Очевидно, решением задачи является функция ф3 (A1 которая может быть найдена по формуле (8.96):
X -\- 100
л:— /со
Подынтегральная функция в (8.103) имеет две особые точки рь 2=± являющиеся полюсами второго порядка. Поэтому
y{t) dp Iе (p+i)* Р=Г dp е (p-iy\P=-
Перейдем теперь к решению задачи Коши с нулевыми начальными условиями для неоднородного уравнения (8.88):
L[y(t)]=f(t).
В силу нулевых начальных условий, перейдя к изображениям *) У (р) ФУУ), F(P)=^f'(О. получим
откуда
K(P) = ^. (8.105)
Так как функция У(р) является изображением, то ее оригинал в силу теоремы 8.3 может быть найден с помощью интеграла Меллина. Однако в данном случае можно обойтись без вычисления этого интеграла. Действительно, согласно (8.95) функция р а° представляет
"п \Р)
собой изображение функции (t) — решения задачи Кошн для однородного уравнения (8.90) с начальными условиями специального вида:
1#1,(0) = 6Я_1>У, у' = 0, 1.....л—1.
Поэтому по теореме о свертке из (8.105) получим
t
У(P) ФУ (0 = -}о \ (t - т)/(т) dr.
о
*) Заметим, что для существования изображения F (р) правой части уравнения (8.88), функции / (і), во многих случаях несущественно поведение этой функции при J—» со. Действительно, нас часто интересует решение уравнения (8.88) лишь на ограниченном отрезке времени 0 г? / Т, которое полностью определяется заданием функции / (t) на этом отрезке и не зависит от поведения функции f (t) при t>T. Поэтому мы можем изменять значения функции / (і) при t>T как угодно, лишь бы условия существования изображения /•' (р) функции f (t) были выполнены. Например, можно положить /(J) = O при t>T. (Подчеркнем, что для определения изображения F (р) функция / (t) должна быть задана на всем бесконечном промежутке 0 sg t <со.) При этом мы, конечно, будем получать различные изображения, однако их оригиналы, естественно, совпадают при t^T. Следует иметь в виду, что указанное положение относится не только к случаю уравнения (8.88), но и ко многим другим физическим задачам, в которых решение ищется на ограниченном промежутке изменения времени.
