Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ф (Z0 + Az) -Ф (Z0) = F К + Aw1, wl +Aw2]-F[W1, (3.22)
где Aa»!, Aw2 СУТЬ приращения функций Zi (z) и /2 (z), соответствующие приращению Az независимой переменной z. Так как, по предположению, существуют частные производные функции F, непрерывные по совокупности переменных, то (3.22) можно преобразовать к виду
Ф (Z0 + Аг)-Ф (Z0) = І? « wl + Aw2) Aw1 +
+ V11Aw1 + « W2) Aw2 + t)2 • Aw2, (3.23)
*) Назовем функцию многих комплексных переменных F(Z1, ... , zn), определенную для значений Z; <= D1, аналитической функцией каждой из своих переменных Z1 (i — \, 2.....т\ т-~~п), если при любом i=\, 2, т соответствующая функция Ф; (г() = ґ(г J', z'(!_,, zp z'j^v z'n) одной комплексной переменной Z1, получающаяся при произвольных фиксированных значениях остальных переменных z. — zl\ (j+ і), является аналитической функцией данной переменной. Производные функции Ф,- (г,-) по соответствующим переменным будем называть частными производными функции F(Z1, ... , Zn)
s of (Z1.....z„) „
многих комплексных переменных OK (Z^) =-* dz- — Подробнее см. приложение 3.
элементарные функции комплексной переменной
85
где фупкиии 1i1 и t)2 бесконечно малы при Aw1 и Дж>2,стремящихся к нулю, а тем самым и при Az->~0. Составив теперь разностное
отношение д*^ и перейдя к пределу при Az-+-0, в силу непрерывности частных производных функции F по совокупности переменных, получим
Ф (Z0 + Az) -Ф (?) _ -OF о 0) ,, .
что и доказывает существование производной Ф' (z0) в точке Z0. В силу сделанных предположений функция Ф' (z) непрерывна в точке Z0, а так как Z0 — произвольная точка области S, отсюда и следует аналитичность функции Ф(.г) в области S. В случае большего числа переменных W1 доказательство проводится совершенно аналогично.
Теорема 3.1 позволяет аналитически продолжать в комплексную область соотношения вида (3.17), (3.18) между элементарными функциями одной действительной переменной, что существенно для изучения различных свойств элементарных функций комплексной переменной. Соответствующие примеры будут приведены ниже, а здесь ограничимся лишь следующим замечанием к теореме 3.1.
Следствие. Ест выполнены условия теоремы 3.1 и функции fi(z) соответственно равны: A(z)=f(z), A(z)=f (z), ... ¦•¦> (z) — /("' iz)> то 1,3 соотношения
F [/(*), .. •, /(л) (JC)] = 0 при а < JC < Ь (3.24)
следует
F[f(z), /•<») (Z)I = O, z<=S. (3.25)
Это означает, что если функция действительной переменной f(x) является решением дифференциального уравнения (3.24), то ее аналитическое продолжение f(z) в область S удовлетворяет в этой области дифференциальному уравнению (3.25), являющемуся аналитическим продолжением уравнения (3.24) в область S.
Перейдем теперь к обоснованию аналитического продолжения соотношений вида (3.19) и (3.20). Мы не будем рассматривать каждое из этих соотношений в отдельности, а сразу сформулируем общую теорему.
Теорема 3.2. Пусть функции W1 — f\ (Z1), Wn = /„ (zn) являются аналитическими функциями комплексных переменных Z1, Zn, в областях S1, Sn, содержащих отрезки [а!: Ь{\ (i = 1, п) действительной оси х. Пусть функция F[W1, wn\ является аналитической функцией по каждой из переменных W1, ..., Wn в области их изменения. Тогда из соотношения F\fi(x1),...,fn(xn)\ = 0 при ar~ix^bi следует соотношение F [Л (Z1), ...,U (zn)\ = 0 при Z1 є S1.
86 аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
Доказательство. Для доказательства теоремы фиксируем значения переменных X2 = х\, Xn = Xn и рассмотрим функцию комплексной переменной Q)1 (Z1) = FIf1 (Z1), f2(x?2), ...,/„(Jfn)]. Эта функция, как сложная функция комплексной переменной Z1, в силу утверждения гл. 1, стр. 33, является аналитической функцией комплексной переменной Z1 с= 1S1. Поэтому по теореме о единственности определения аналитической функции из соотношения F If1 (X1), к A (Xn)] = 0 при U1 s= X1 s= O1 следует F If1 (Z1), /2 (х?2), ...
..., Jn (хп)] = 0 при Z1 C=^1. Заметим, что отсюда в силу произвольности х5, Xn вытекает, что F If1 (Z1), /2 (X7), ..., fn (Xn)] = 0. Фиксируем теперь произвольное значение комплексной переменной ZJc=S1 и рассмотрим функцию Ф2(z2) = FIf1 (z\), f2(z2), f3(x.s), ... ..., /„(х„)] комплексной переменной Z2 =i S2. Так же как и (D1 (Z1), функция Ф2 (Z2) является аналитической функцией переменной Z2 с= S2. Поэтому из соотношения FIf1(Z1), /2(Jf2), fs(xl), /п(х„)] = 0 при O2 S= X2 S= Ъ2 следует F If1 (z'l), f2 (z2), J3 (хЦ ...,/„ (Jfn)| = 0 при Z2 с= ^2. В силу произвольности выбора z] мы получим, что соотношение F [Z1 (X1), Zj (-*?), /з (Jf5), . • •, /„ (xn)| = 0 при U1 S= х, S= ^1, O2S=X2S=^2 влечет за собой соотношение FIf1(Z1), f2 (z2), f3 (x?t),... ..., fn (x?,)] = 0 при Z1 <= S1, z2 єе S2.
Продолжая аналогичным образом, мы и докажем теорему. Заметим, что доказательство теоремы не зависит от взаимного расположения областей S1.
Теорема 3.2 позволяет строить аналитические продолжения соотношений вида (3.19) и (3.20). Рассмотрим, например, соотношение (3.19) и введем функции wlt w2, W3 комплексных переменных Z1, Z2
