Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
42
функции комплексной переменной
[гл. 1
Так как функция /(г) — аналитическая всюду внутри контура Г, то функции и(х, у) и v(x, у) в области, ограниченной этим контуром, обладают непрерывными частными производными первого порядка. Поэтому к криволинейным интегралам, стоящим в правой части последнего равенства, можно применить формулу (1.47). Кроме того, частные производные функций и(х, у) и V(х, у) связаны соотношениями Коши — Римана. Поэтому
^tidx-vdy=^{-^-^)dxdy = 0 г ^
и
Jj vdx + udy = jj jj - f-}dxdy = 0, г gf
что и доказывает утверждение теоремы.
Итак, теорема 1.5 устанавливает факт равенства нулю интеграла от аналитической функции по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в односвязной области ее аналитичности. При дополнительном условии непрерывности функции в замкнутой области данное утверждение справедливо и для замкнутого контура, являющегося границей области аналитичности. Последнее утверждение фактически является несколько видоизмененной формулировкой теоремы Коши, но ввиду его важности для практических приложений мы выделим это утверждение в отдельную теорему.
Теорема 1.6 (вторая формулировка теоремы Коши). Если функция f(z) является аналитической функцией в односвязной области 5, ограниченной кусочно-гладким контуром С, и непрерывна в замкнутой области 9, то интеграл от функции f(z) по границе С области $ равен нулю:
\f(Qdl=0. (1.48)
с
Теорема Коши устанавливает одно из основных свойств аналитической функции комплексной переменной. Ее фундаментальное значение будет следовать из дальнейшего изложения, здесь же мы ограничимся следующим замечанием.
Теорема формулировалась для односвязной области, однако ее легко обобщить и на случай многосвязной области. В этом случае полная граница области состоит из нескольких замкнутых контуров: внешнего C0 и внутренних C1, C2, ..., Cn. Положительным направлением обхода полной границы многосвязной области будем называть такое направление движения, при котором область все время остается слева. При этом внешний контур обходится в положительном, а внутренние — в отрицательном направлении.
интеграл по комплексной переменной
43
Cn, причем
Теорема 1.7. Пусть f(z) является аналитической функцией в многосвязной области 9, ограниченной извне контуром C0, а изнутри контурами C1, C2, Cn, и пусть f(z) непрерывна
в замкнутой области 3". Тогда § /(?) dt, = 0, где С — полная гра-
с
ница области 5, состоящая из контуров C0, C1, ... обход границы С происходит в положительном направлении.
Доказательство. Проведем гладкие кривые Yi> • • • > Ую соединяющие контур C0 с контурами C1, C2 и т. д. (рис. 1.8). Тогда область, ограниченная кривыми C0, C1, ...,Cn и кривыми Y1, Y2* • • • , Ym проходимыми дважды в противоположных направлениях, оказывается односвязной*). В силу теоремы 1.6 интеграл по границе этой области равен нулю. Но интегралы по вспо- Рис. 1.8.
могательным кривым Yi, • • •, Уп проходятся дважды в противоположных направлениях и при суммировании интегралов выпадают. Поэтому имеет место равенство
(1.49)
с+
(верхние индексы у С; указывают направление обхода).
В заключение отметим, что если функция f(z) является аналитической в многосвязной области 5 и Г — произвольный замкнутый
контур, целиком лежащий в &, то интеграл ^ f(Q dt, может, вообще
г
говоря, оказаться отличным от нуля. Например, пусть область S представляет собой круговое кольцо 1 <С | z | <С 3. Функция f(z) = ~ является аналитической в этой области. В силу примера, рассмотренного на стр. 40, ^ ~ = 2ліф0. Данное обстоятельство связано,
I 2 |=2
в частности, с тем, что контур |г| = 2 не образует полную границу области аналитичности рассматриваемой функции.
3. Неопределенный интеграл. Важным следствием теоремы Коши является следующее положение. Пусть функция f(z) является аналитической функцией в односвязной области 9. Фиксируем в этой обла-
2
сти некоторую точку Z0 и обозначим через 5 /(?) dt, интеграл по
*) Как нетрудно убедиться, кривые Vi. ••• ¦Yn всегда можно выбрать так, чтобы они не пересекались, т. е. получим- действительно односвязную область.
44
функции комплексной переменной
|гл. 1
какой-либо кривой, целиком лежащей в $ и соединяющей точки z и Z0. В силу теоремы Коши этот интеграл не зависит or выбора кривой интегрирования в области 5 и является однозначной функцией г:
$/(Є)гі? = Ф(4 (1.50)
Z0
Теорема 1.8. Пусть функция f(z) определена и непрерывна в некоторой односвязной области S1, а интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру Г, целиком лежащему в дан-
Z
ной области, равен нулю. Тогда функция Ф (z) = jj/(?) dl, (z, z0 є &)
Z0
является аналитической функцией в области S1 и Ф'(z)=/(z). Доказательство. Составим разностное отношение
(Z+ AZ Z 1 Z+AZ
Ф(г + Дг)-Ф(г) 1 ? С fir\rir\ 1 "
I fit)dt-(Qdt =1 J /(9C
Дг Az
W0 Z0 'Z
Последнее равенство имеет место в силу независимости значения интеграла, определяющего функцию Ф (z), от пути интегрирования и (1.38). Выберем в качестве пути интегрирования в последнем интеграле прямую, соединяющую точки z и z -{-Az. Такой путь интегрирования является удобным, поскольку имеет место очевидное COOT-
