Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
-і
^-('-ijr^rpsj
f (0. 10
- ik и
(І іІЦ.
Так как
(118)
St^
du,
1 , arctg
In —
г'Ац. 2(A 1 — ik
(119)
то окончательно получим
1 Z1 arctg /?\-
У"2л V
Разложим правую часть (120) в ряд Лорана в окрестности точки A = O. Воспользовавшись равенством *)
о і
$ /(0, (X)(Xd1X= 5/(0, ід) ід ф=; (0) = -1 (121)
— і —і
и введенным ранее обозначением (99), получим
3 1
V 2л А2
[1+//C(O)-A + ...}.
(122)
*) Равенство (121) имеет место в силу (95) и условия нормировки (97).
290
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
С другой стороны, можно найти первые члены разложения в ряд Лорана в окрестности точки А = 0 функции, стоящей в правой части формулы (112).
Вычислим сначала ФДО). Обратимся к формуле (HO') и выберем в качестве пути интегрирования действительную ось с обходом точки ? = 0 по дуге полуокружности в нижней полуплоскости. Устремив радиус последней к нулю и учтя, что в силу нечетности подынтегральной функции интеграл по участкам действительной ос;: равен нулю, получим
Z*+i I, _ arctg ГД
V s J
ф (O)=L lim In 1 i^o
= In-L-. (123)
ІЗ
Используя (123), находим, что разложение функции R+(k) в окрестности точки A = O имеет вид
R+ (A) = Ai У"3 ^ {1 + ICk +...}. (124)
Сравнив (122) и (124), определим значение постоянной А:
А=Щ,І. (125)
Подставив полученные результаты в формулы (107), (112), (114), окончательно получим при ц < 0
/(0, ц) =
СО
Yin . 1.. 1чв„„ V-. С ,„ ГР+1/i arctgCA
= ^l(l + |n|)exp^|jlnp
(126)
что и дает функцию углового распределения нейтронов, выходящих из полупространства х ;> 0-
5.3. Дифракция на плоском экране. Рассмотренные до сих пор интегральные уравнения являются уравнениями Фредгольма второго рода. Однако ряд физических задач естественным образом приводит к интегральным уравнениям первого рода в полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов. В качестве примера рассмотрим задачу дифракции электромагнитных волн на плоском экране. Пусть в однородном пространстве помещен плоский идеально проводящий экран, совпадающий с полуплоскостью л">0, у = 0, —оо <; г <; оо. Пусть вне экрана расположены локальные источники электромагнитного поля, создающие периодические электромагнитные колебания частоты со, поляризованные таким образом, что вектор E напряженности электрического поля параллелен оси z и не зависит от координаты г. Тогда для амплитуды и(х, у) вектора E получим скалярную задачу
Дц + А2гг = — f(x, у),
j\ , у» (127)
и(х, 0) = 0, X>0. v '
МЕТОД BfIHEPA - ХОПФА
291
Кроме того, функция и (х, у) должна удовлетворять условиям излучения на бесконечности, определяющим отсутствие волн, приходящих
из бесконечности*). Здесь k = — волновое число (с —скорость
света в среде вне экрана), f(x, у) — заданная функция, определяющая плотность источников. Будем искать решение задачи (127) в виде и(х, V) = U0(X, y)~\-v(x, у), где функция и0(х, у)— поле, создаваемое заданными источниками в отсутствие экрана, которое через функцию f(x, у) выражается в виде волнового потенциала **)
«о (X, у) = {.\ \ W (kr) f & tj) dl di\, (128)
' s'
где Яо11 (z) — функция Ханкеля первого рода, г = \(х — ?)2 -4-(у — Tj)2J1/», а интегрирование ведется по всей области 5, в которой расположены источники. Для функции v(x, у) получим задачу
Av + /S2Tj = О,
л (129)
v(x, 0) = — и0(х, 0), х>0.
Кроме того, v(x, у) должна удовлетворять условиям излучения на бесконечности. Решение задачи (129) будем искать в виде волнового потенциала простого слоя
со
v(x, у)= \ W(kr')V (Qdt, (130)
о
где г' = \(х — ?)2 -{-у2]'/г, а ц (?) — неизвестная плотность, для определения которой с помощью граничного условия при у = 0, X > 0 получим интегральное уравнение первого рода
со
\ H1Q1'(k\x- І )\i(t)dt = — и0(х, 0), x>0. (131)
о
Мы опять получили неоднородное интегральное уравнение в полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов. Однако, в отличие от (79), это уже уравнение первого рода. Данное уравнение также может быть решено с помощью метода Винера — Хопфа, однако мы не будем останавливаться на деталях этого исследования.
6. Решение краевых задач для уравнений в частных производных методом Винера — Хопфа. Метод Винера —Хопфа может быть с успехом применен не только для решения интегральных уравнений, но и для решения краевых задач для уравнений в частных
*) Подробнее постановку задач дифракции см. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972. **) Определение и свойства волновых потенциалов см. там "же.
292
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
производных. При этом конкретная форма применения данного метода может несколько отличаться от изложенной выше, хотя общая идея, заключающаяся в факторизации выражений вида (63), (65), всегда составляет основу метода. В качестве типичного примера рассмотрим следующую краевую задачу для уравнения Лапласа.
Пример 3. В верхней полуплоскости у > 0 найти гармоническую функцию, удовлетворяющую при у = 0 смешанным краевым условиям
и(х, 0) = е~ах, а>0, лг>0, (132)
^ (х, O) = O, *<0, (133)
