Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Inn
-La
'к Г id <
Rev
Чім -? -v, В V
X' К
--la Рис. 1.
а по прямой Х~ — ъ противоположном направлении. Несобственный ишеграл (2) является абсолютно сходящимся. Действительно, имеет место очевидная оценка
2 ,2
sin nv
Imv = d iі ' і ,Im v=d L 1
(3)
(4)
Аналогичная оценка имеет место и при Im v = — d. Итак второй сомножитель в подынтегральной функции (2) ограничен, а первый стремится к нулю, как l/|Vj2, что и обеспечивает абсолютную сходимость интеграла (2).
Покажем, что интеграл (2) равен сумме исходного ряда (1). Построим вспомогательный интеграл "
j _ Ii' 1
л' 2І ,) V- + a2 sin л\
по замкнутому контуру Гл% составленному из отрезков Х% и Xl прямых X-'- и Х~ между точками
A» = [n+\-, d), A»=!K-N- \-, d), A» = (,-N-±,-d)
A?=[N+\-, -d
соответственно и соединяющих их вертикальных отрезков yN(A^A^) и ун(А'УАМ) (рис. 1). Внутри области, ограниченной контуром Г ,у, подынтегральная функция (4) имеет полюсы первого порядка в точкахvft = k (A = U, ±\,...,zhN). Поэтому, вычисляя интеграл (4) с
308
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
помощью теории вычетов, получим
N
Ik =
2ш
2f
Выч
1
N
V
1
fc2 + а2 *
(5)
откуда следует, что сумма 5 ряда (1) равна lim In.
Л> oo
С другой стороны, предел интеграла In при N—>-со равен интегралу (2). Действительно, в силу абсолютной сходимости несобственного интеграла (2) имеем
Hm
1
2i
Xi1 Л-X
V2 + k% sin nv
dv = /,
(o)
N
а интегралы по прямым yN и yN стремятся к нулю при N-легко установить на основании оценки
со, что
„— я Im V
sin л (Re V -{-« Im v)
g—л Im V ch (л Im у)
Ум
Итак
5- V
1
и2+ а2
(7)
(8)
и исходная задача суммирования ряда (1) сводится к вычислению интеграла (2). Последняя задача может быть решена опять с помощью теории вычетов. Заметим, что подынтегральная функция в (2), кроме особых точек на действительной оси, имеет еще два полюса в точках v = ±/a. Для вычисления интеграла по прямой X+ рассмотрим в верхней полуплоскости замкнутый контур Cn, состоящий из отрезка XNu замыкающей его дуги полуокружности Cn. Легко видеть, что при Im v Ss= d имеет место оценка, аналогичная (3)
Im V ;
рїЛа _
• 1'
(9)
откуда следует, что интеграл по дуге Cn стремится к нулю при TV->- со. Поэтому, вычисляя интеграл по прямой X* с помощью теории вычетов, получим
1 { —L-
2i \ v2 + a!
el!iv , 2л(
—-dv = —-п— Выч
sm лV 2i
1
sm JtV '
ia
X'
Аналогично
-ли
= — л
-dv-
1
2ia sin їла
л 2а
sh ла"
л
2а '
sh ла'
(10) (П)
х-
метод batcoha
309
откуда
/=±- \ _L_^._?-rfv = -cthna, (12)
Л \ х-A-a2 sin лv о 4 '
что и решает исходную задачу суммирования ряда (1).
Рассмотренный пример, несмотря на его простоту, содержит все основные элементы метода Ватсона. Этот метод асимптотического исследования рядов состоит из ряда этапов. На первом этапе надо построить интеграл по комплексной переменной, равный сумме исходного ряда. Подынтегральная функция этого интеграла должна содержать множителем аналитическое продолжение общего члена ряда в комплексную плоскость его номера. Следующий этап заключается в независимом вычислении построенного интеграла. Во многих случаях удается получить выражение искомого интеграла через сумму вычетов подынтегральной функции в особых точках аналитического продолжения общего члена ряда. Если число таких особых точек конечно, то мы получаем явное выражение для суммы исходного ряда, если число этих особых точек бесконечно, то мы преобразуем исходный ряд в новый, который может оказаться более простым для асимптотического исследования.
В качестве следующего примера рассмотрим задачу вычисления ряда
со
™-2(-->-3?. (,3)
где 0 ^ 6 < я, а а — заданное положительное число, удовлетворяющее условию а<М. Ряд (13) является типичным для многих задач математической физики, решение которых строится методом разделения переменных. Как легко видеть, в силу условия а <^ 1 большое число первых членов ряда имеет один и тот же порядок (например, при а = КГ4 и 6 = 0 первые 1000 членов ряда по абсолютной величине изменяются от 1 до 0,995). Поэтому прямое численное суммирование ряда (13) при а<^1 оказывается весьма затруднительным. Однако, применяя метод Ватсона, можно преобразовать ряд (13) в новый ряд, для которого легко получить асимптотическое представление при а<1.
Рассмотрим вспомогательный интеграл
/(6) = -1- С dVt (14)
w 2i j ch (XV sin vji п
где контур интегрирования П на комплексной плоскости v представляет собой бесконечную петлю, охватывающую положительную часть действительной оси (рис. 2) и пересекающую действительную ось в точке V =1/2. Интегрирование по контуру П производится в положительном направлении так, что действительная ось остается
310
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
слева от направления движения. Легко видеть, что интеграл (14) равен исходному ряду (13). Действительно, рассмотрим интеграл
/п(8):= С _^2L___dv (15)
" w 2i t) ch av sm Vit v '
по замкнутому контуру П„, состоящему из конечного участка петли П и замыкающего его вертикального отрезка A1A2, пересекающего действительную ось в точке V = я + =-. Подынтегральная функция /(v) в (15) является аналитической функцией комплексной переменной v
