Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 8.5. Пусть функция F (р) комплексной переменной р = X+ Iy удовлетворяет следующим условиям:
а) F' (р) — аналитическая функция в области Re(p)>a;
б) в области Rep>>a функция F (р) стремится к нулю при \ р I —>- со равномерно относительно arg р;
в) для всех Rep = x>a сходится интеграл*)
X + too
u \F(p)\dy<M, х>а. (8.66)
Х — ІСО
Тогда функция F(р) при Rtp>a является изображением функции f(t) действительной переменной t, которая определяется выражением
^ = IET S ^F(р)dp, х>а.
(8.67)
Доказательство. Итак, надо доказать, что интеграл (8.67) является оригиналом функции F(p). Первым делом возникает вопрос о существовании этого несобственного интеграла**). Очевидно,
X -f- I СО X -f- L со
Jj e"'Fp)dp\^^r 5 \e^F(p)\-\dp\ =
- I со ext
-j- I СО
Jj jF^itfy^-l^, (8.68)
*) Интеграл (8.66) представляет собой несобственный интеграл первого рода по прямой Re р = X от действительной функции F (р) .
**) Несобственный интеграл (8.67) вычисляется вдоль прямой Rep==x и понимается в смысле главного значения, т. е.
X + і со х\ і А
\ еР'F(p) dp= Hm J еР'F(p) dp.
x-ico А-~ т х- і А
232
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
откуда и следует сходимость интеграла (8.67) при любом х > а. Отметим для дальнейшего, что из оценки (8.68) следует равномерная сходимость интеграла (8.67) по параметру t на любом конечном промежутке 0 t sg; Т.
Для того чтобы доказать, что интеграл (8.67) является оригиналом заданной функции F (р), следует установить, что:
1° Интеграл (8.67) не зависит от х и определяет функцию /(г) лишь одной переменной t, причем эта функция обладает ограниченной степенью роста.
2° При г<0 /(0 = 0.
3° Изображением Лапласа функции /(0 является заданная функция F(р).
Докажем каждое из высказанных утверждений.
1° Рассмотрим в области Rep~>a замкнутый контур Г, состоящий из отрезков прямых [X1-IA, X1 + iA) и [x2 — iA, X2 +і А], параллельных мнимой оси, и соединяющих их отрезков прямых [X1-IA, X2-iA], [X1 +iA, х2 +IA], параллельных действительной оси (рис. 8.1). Здесь Л>0, X1, X2 — произвольные числа, большие а. Так как функция F(p) является аналитической в области Re/?>a, то в силу теоремы Коши интеграл от функции ер< F (р) по контуру Г равен нулю. Устремим А к бесконечности, оставляя фиксированными JC1, X2 Тогда по условию б) теоремы интегралы по горизонтальным отрезкам пути .интегрирования дадут в пределе нуль. В то же время интегралы по вертикальным прямым переходят в интеграл (8.67). Отсюда
Xi + і со X2-1Tt со
\ eP'F(j})dp= $ ePtF(P)dp,
Xx — і со X2 — і со
§ 2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 233
Поскольку р0 — произвольная точка в области Rep > а, теорема доказана. Естественно, что интеграл (8.67) совпадает с формулой Мелли-
что в силу произвольности Xi и X2 доказывает утверждение 1°. Итак, интеграл (8.67) является функцией лишь одной переменной t. Отметим, что при этом из оценки (8.68) сразу следует, что интеграл (8.67) представляет собой функцию ограниченной степени роста по t, причем показатель степени роста этой функции равен а.
2° Рассмотрим значение интеграла (8.67) при t<^0. Для этого в области Re р > а рассмотрим замкнутый контур С, состоящий из отрезка прямой [x — iR, x + iR], х > а, и замыкающей его дуги СR полуокружности \р — X\ = R (рис. 8.2). По теореме Коши интеграл от функции є?' F'(р) по данному контуру равен нулю. В силу замечания к лемме Жордана (см. гл. 5, стр. 133) при R-yoo интеграл по дуге Cr стремится к нулю при t < 0. Поэтому
ДГ + І OO
/(/)= 2ST \ F (p)dp=E 0, t<0,Rep>a, (8.69)
ДГ — I со
и утверждение 2° доказано.
3° Построим изображение Лапласа функции (8.67) и рассмотрим его значение при некотором произвольном р0, где Re P0 > а:
OO OO ДГ + і со
^ e-p,t f(t) a = JL ^ е-р.< dt jj е & F(p) dp. (8.70)
О О дг — і со
Внутренний интеграл в (8.70) не зависит от х. Выберем значение х, удовлетворяющее условию а < х < Re р0, и изменим порядок интегрирования, что возможно в силу равномерной сходимости соответствующих интегралов; получим
OO ДГ + «СО OO ДГ + 'OO
S F(p)dp\e-^dt=^. \ F(p)?-p.
5 X — (co О дг — /со
(8.71)
Интеграл (8.71) может быть вычислен с помощью вычетов, так как в силу условия б) теоремы подынтегральная функция стремится к нулю
при Ijbj-voo быстрее, чем функция ~. Поэтому, учтя, что единственной особой точкой подынтегральной функции — полюсом первого порядка—является точка P=P0 и при замыкании (8.71) в правой полуплоскости интегрирование производится в отрицательном направлении, получим
со
/(*)== \e-P°<f(t) dt = F(P0). (8.72)
234
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
на (8.58), выведенный в предположении существования оригинала. Итак, нами установлены некоторые достаточные условия, при которых заданная функция F(р) комплексной переменной р является изображением.
3. Вычисление интеграла Меллина. Во многих практически важных случаях интеграл (8.58), (8.67), дающий выражение оригинала по заданной функции F (р) комплексной переменной, может быть вычислен с помощью рассмотренных выше (см. гл. 5) методов вычисления контурных интегралов от функции комплексной переменной. Пусть функция F (р), первоначально заданная в области Re/? > а, может быть аналитически продолжена на всю плоскость р. Пусть ее аналитическое продолжение удовлетворяет при Rep<.a условиям леммы Жордана. Тогда при t > О
