Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Если существует функция f(z), определенная в области о которой говорилось в 1°, 2° и 3°, то она может быть названа аналитическим продолжением в 3> с множества { Zn }, линии L или подобласти У.
Отметим, что задание значений аналитической функции на соответствующем множестве точек не может быть произведено произвольно. Однако мы здесь не будем обсуждать требования, которым должны удовлетворять эти значения, чтобы их можно было аналитически продолжить в области '$.
ГЛАВА З
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В этой главе мы рассмотрим ряд фундаментальных следствий теоремы о единственности определения аналитической функции. Как было установлено, аналитическая функция однозначно определяется заданием ее значений на некотором множестве точек в области ее определения. Это обстоятельство позволяет построить аналитическое продолжение в комплексную область элементарных функций действительной переменной и выяснить их свойства в комплексной плоскости. Мы также кратко рассмотрим общие принципы аналитического продолжения.
§ 1. Элементарные функции комплексной переменной. Продолжение с действительной оси
1. Продолжение с действительной оси. Теорема о единственности определения аналитической функции позволяет автоматически распространить на комплексную область элементарные функции действительной переменной. Предварительно отметим справедливость следующего утверждения: пусть на отрезке [а, Ь] действительной оси х задана непрерывная функция / (х) действительной переменной; тогда в некоторой области $ комплексной плоскости, содержащей отрезок \ а,Ь\ действительной оси, может существовать только одна аналитическая функция f(z) комплексной переменной Z, принимающая данные значения f(x) на отрезке [а, Ь]. Назовем функцию f(z) аналитическим, продолжением функции f(x) действительной переменной х в комплексную область
Перейдем к рассмотрению примеров построения аналитических продолжений элементарных функций действительной переменной. Среди элементарных функций действительной переменной особую роль играют показательная функция ех и тригонометрические функции sin х и cos л-. Как известно*), эти функции могут быть заданы своими разложениями
*) Определение и основные свойства этих функций действительной переменной см. вып. 1, стр. 412.
80 аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
в ряды Тейлора:
со
2 5. о-')
Є =
п = 0
sin
п = 0
COS X
причем эти ряды сходятся при всяком значении X.
Рассмотрим на комплексной плоскости следующие степенные ряды:
1
п = 0
Z"
2 (-1)п
(2п + 1)1 '
(3.4) (3.5)
1(-1)" (2^- (3'6)
п = 0
При действительных z = x выражения (3.4), (3.5), (3.6) и (3.1), (3.2), (3.3) соответственно совпадают.
Как следует из теоремы Абеля, областью сходимости рядов (3.4) — (3.6) является вся плоскость комплексной переменной, т. е. эти ряды представляют собой целые функции комплексний переменной z, "вляющиеся аналитическим продолжением па всю комплексную плоскость элементарных функций действительной переменной ех, sin х и cos х. Для введенных функций естественно сохранить прежние обозначения. Положим
со
OO
/1 = 0
со
COSz= 2 (-1)-(?. (3.9)
п = 0
§ 1] элементарные функции комплексной переменной
81
С помощью функции ег построим гиперболические функции комплексной переменной:
ChZ = ^ + "'" (ЗЛО)
shz = —^-. (3.11)
В силу общих свойств аналитических функций эти функции также являются целыми.
Аналогичным образом с помощью основных тригонометрических функций sin z и cos z путем формального переноса в комплексную область соответствующих определений могут быть построены и
, , sin z 1
остальные тригонометрические функции: tez =-, cosecz = -—
к 1J * cos г sin z
и т. д. Эти функции уже не являются целыми, поскольку их аналитичность нарушается в тех точках плоскости z, где знаменатели определяющих их выражений обращаются в нуль.
Как будет показано ниже, для всех построенных функций комплексной переменной сохраняются многие основные свойства соответствующих элементарных функций действительной переменной. Это будет установлено па основании некоторых общих положений, а сейчас мы построим продолжение на комплексную область еще двух элементарных функций. Рассмотрим следующие степенные ряды:
со
У („іу-і^-'У. (3.12)
я = 1
у 1 •3...(2Z1-I)**+!
/1 = 1
Как известно, первый ряд *) сходится в интервале 0 < х < 2, а второй—в интервале —1<<х<1 к функциям действительной переменной In ,V и aresin X соответственно. Как легко установить, степенные ряды
OO
У (_i)"-i iiniZ (3.12')
^+2
?1 1 -3... (2п — 1)г' і
2"-и1(2/г-И) (3.13)
*) См. вып. 1, стр. 275, где приведено разложение In(I+У), замена у~х—1 дает (3.12).
82
аналитическое продолжение. элементарные функции [гл. 3
сходятся первый — внутри круга \z—1|<1, а второй — внутри круга I z j < 1 и на соответствующих отрезках действительной оси совпадают с рядами (3.12) и (3.13). Поэтому аналитические функции комплексной переменной z, определенные с помощью рядов (3.12') и (3.13') внутри их кругов сходимости, являются аналитическим продолжением на соответствующую комплексную область элементарных функций In X и aresin х действительной переменной х. Для этих функций мы также сохраним прежние обозначения, положив
