Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ум=Шг (8-42)
222
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
Формула (8.42) дает достаточно простое выражение изображения искомого решения у (t) через известные функции-полином Pn (р), коэффициенты которого определяются уравнением (8.40), и изображение F (р) заданной правой части уравнения. Тем самым, если мы сможем определить неизвестный оригинал у (t) по его известному изображению Y(p), то задача (8.40), (8.41) будет решена. Ниже мы рассмотрим различные способы определения оригинала по заданному изображению, а сейчас продолжим рассмотрение еще ряда общих свойств изображения.
д) Изображение интеграла.
Свойство 5. Пусть f(t)==F(p), Rep>a. Тогда t
ф (0 = jj /(т) dx = ~F (р), Rep>a. (8.43)
o
Действительно, легко проверить, что функция ф(0 удовлетворяет всем условиям существования изображения, причем ф (t) имеет тот же показатель степени роста, что и f(t). Вычислив изображение функции ф(0 по формуле (8.2), получим
і со і
\ /(т) dx ф \ е-Р' dt\f{x)d%.
0 0 0
Меняя в последнем интеграле порядок интегрирования *), получаем
/ СО СО OO
jj /(т) dx ф |j /(T) dx Jj е-* dt = 1 \ е-Р*/(т) dx = 1F (р),
0 0т о
что и доказывает формулу (8.43).
Аналогичным образом может быть доказано Свойство 5'. Пусть /(0 = F(р), Rep>a; тогда
Jj (U1 Jj dt2.. Л f{tn)dtnф-^F(р), Reр> а. (8.44)
b о 6
Свойства 5 и 5' находят многочисленные применения при вычислении изображений различных функций.
Например, найдем изображение пилообразной функции / (t), представляющей собой периодически повторяющийся равнобедренный треугольник с основанием 2т и высотой /„т. Как -легко видеть, эта функция представляет собой интеграл от 0 до t от функции (8.28), изображение которой дается формулой (8.29). Поэтому
f{t)~§th^. (8.45)
*) Возможность изменения порядка интегрирования следует из теоремы 10.9, вып. 2, выполнение условий которой в данном случае легко проверяется.
§ Ij ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 223
j/i (T)/а (f-T) Л
: M1M2 ^ е^х еа> V -f>dx =
о
M1Mi і / а п ^ M1M.. at , ,
= —-—- \eas — еа''\ ^--——е , a = max {а,, аЛ.
Степень роста свертки, очевидно, равна наибольшей степени роста функций Z1(O и /г (0- Легко видеть, что ср(0 удовлетворяет и остальным условиям существования изображения. Для вычисления изображения свертки воспользуемся формулой (8.2) и изменим порядок интегрирования *):
со t со со
\ e-Pf dt \ U (т) h if — т) dx = \ h (T) dX \ Є'* f2 it - X) dt.
OO От
Сделав замену переменных t — x = t' во внутреннем интеграле, окончательно получим
t со со
S А (т) А V - т) dx ф \ е-" А (т) dx \ е-*' А (О dt' = F1 (р) F2 (р),
и оо
что и доказывает свойство 6.
В приложениях формула (8.47) часто используется для определения оригинала по заданному изображению, когда заданное изображение удается разбить на сомножители, для которых оригиналы известны.
Например, пусть требуется найти оригинал функции F(P)- РЫ
(р2+м2Г
*) О возможности изменения порядка интегрирования см. ссылку на стр. 222.
е) Изображение свертки. Сверткой функций Z1(O и /2(0 называется функция ф(0, определенная соотношением
Ф (0 = І A (т) A (t - т) dx = ( Л (* -1) /2 (т) eft. (8.46)
о о
В справедливости последнего равенства легко убедиться, сделав в первом интеграле замену переменной интегрирования t—x = t'. Имеет место следующее
Свойство 6. Если Z1(O = FiiP), Rep>ab A(t) = F%(P)> Re/? > о2, то
Ф (O = 5Л(т)Л(* -T)flfT = Flip)F2 (Pl Re/>>max{ab as}. (8.47)
и
Свертка функций /і(0 и /2(0 с ограниченной степенью роста также является функцией с ограниченной степенью роста. Действительно,
224
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. 8
Ранее мы нашли (см. формулы (8.21) и (8.22)), что
P- , со . . ,
=- cos mt, ¦ -== sm mt.
ра + м2 • ' р2 + ы'
Поэтому
t
F (р) ~± ^ sin сот • cos со (t — т) dx — |- sin сог*. 6
Рассмотрим еще ряд общих свойств изображений.
ж) Дифференцирование изображения. Свойство 7. Пусть F (р) = f(t), Ke р > а. Тогда
?'(Р)Ф-Ш, Re/7>a. (8.48)
Действительно, выше мы отмечали, что производную аналитической функции F (р) в области ее определения Rep^>a можно вычислять, дифференцируя подынтегральную функцию в несобственном интеграле (8.2) по параметру. Проделав это, получим
со
F'(p)=-\e-Pttf(t)dt = -tf(t),
о
что и доказывает свойство 7. Заметив, что умножение функции f(t) на любую степенную функцию tn не меняет ее степени роста, получим Свойство 7'. Если F(p)~~f(t), Re/?>a, то
F(n) (P) = (— 1)" tn f(t). (8.49)
Формулы (8 48) и (8.49) могут быть применены для вычисления изображения от произведения Vі па функцию fit), для которой изображение известно. В дальнейшем мы получим общую формулу, выражающую изображение произведения через изображения сомножителей, а сейчас рассмотрим еще одно свойство изображений.
з) Интегрирование изображения.
f (t)
¦Свойство 8. Если функция '—ф удовлетворяет условиям существования изображения и f(t)+=F(p), Re р > а, то
со со
Ш ф ^ е-Р' фл=|Р(?) dq. (8.50)
Обозначим
I (р)= ^ e'P'f-^-dt. (8.51)
По теореме 8.2 функция I (р) является аналитической в области Re/?>a, причем в силу замечания на стр. 215 /(со) = 0. Найдем
