Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Примеры: 1) Найти все значения УL Записав в показательной
.л
I —
форме комплексное число z = l = e 2, получим для значений квадрат-
. П . .2nk
1 T + ' -7Г-
ного корня из данного комплексного числа выражения zk = e * 1 , A = O, 1 (рис. 1.2), откуда
предел последовательности комплексных чисел
17
2) Найти все значения y^l, где /г > 0 —целое число. Воспользовавшись представлением 1 = ei0, так же, как и в предыдущем при-
.2л ,
і - - к
мере, получим Zk-е " ,A = O, р — 1, откуда г0 = е,0=1, = е " = cos--+ г sin ¦y , ...
¦2л .2л
1--{р-1) -і— 2л . . 2к
Zp^1 = е р =е P=COS-—г sin—.
P P
То есть корень p-Vi степени из 1 имеет ровно р различных значений. Эти комплексные числа соответствуют вершинам правильного ^-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в точке 2- = 0, причем одна из вершин лежит в точке 2=1.
3) Найти все значения Yl- г]/3. Так как 2=1—/у"3 =
.я
= 2е 3, то для значений квадратного корня из данного комплекс-
. я ^ 2nk
ного числа получим выражения 2д, = У^2е 6 2 , A = O, 1, откуда Z0 = V^e б =у2 [cos g--zsm-g-j =-j7|-.
Итак, для извлечения корня л-й степени из комплексного числа надо перейти к показательной форме записи комплексного числа, извлечь корень л-й степени из модуля данного комплексного числа (берется арифметическое — действительное и положительное — значение корня), а аргумент данного комплексного числа разделить на л. (Для получения всех значений корня надо иметь в виду многозначность аргумента.)
§ 2. Предел последовательности комплексных чисел
1. Определение сходящейся последовательности. Для построения теории функций комплексной переменной большое значение имеет перенесение основных идей анализа в комплексную область. Одним из фундаментальных понятий анализа является понятие предела и, в частности, понятие сходящейся числовой последовательности. Аналогичную роль играют соответствующие понятия и в области комплексных чисел. При этом многие определения, связанные с предельным переходом, полностью повторяют соответствующие определения теории функций действительной переменной.
Последовательностью комплексных чисел называется перенумерованное бесконечное множество комплексных чисел. В даль-
18
функции комплексной переменной
[гл. 1
пеишем последовательность комплексных чисел мы будем обозначать символом {zn}. Комплексные числа Zn, образующие последовательность {zn), называются ее элементами *).
Число z называется пределом последовательности \zn), если для любого положительного числа є можно указать такой номер N (є), начиная с которого все элементы Zn этой последовательности удовлетворяют неравенству
)z — zn\<E при n^N(e). (1.6)
Последовательность {zn}, имеющая предел z, называется сходящейся к числу z, что записывается в виде Um Zn = z.
п -* со
Для геометрической интерпретации предельного перехода в комплексной области удобным оказывается понятие е-окрестности точки комплексной плоскости.
Множество точек z комплексной плоскости, лежащих внутри окружности радиуса є с центром в точке Z0 (i z — Z0 \ <; є), называется г-окрестностью точки Z0.
Из этого определения следует, что точка z является пределом сходящейся последовательности {zn}, если в любой е-окрестности точки z лежат все элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, зависящего от е.
Поскольку каждое комплексное число zn = an~\-ibn характеризуется парой действительных чисел ап и Ьп, то последовательности комплексных чисел {zn) соответствуют две последовательности действительных чисел {ап) и {Ьп}, составленные соответственно из действительных и мнимых частей элементов Zn последовательности {zn}.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1.1. Необходимым и достаточным условием сходимости последовательности {zn} является сходимость последовательностей действительных чисел {ап} и {bn) (zn = ап-\- Ibn).
Доказательство. В самом деле, если последовательность {zn} сходится к числу z = a-{-lb, то для любого є > 0 | ап — а \ =?: ^\zn— z\<Ce и \ bn — j < є при я ^TV (є). Это и доказывает сходимость последовательностей {ап} и {Ьп) к а и b соответственно. Обратное утверждение следует из соотношения \zn — z\ = = у(ап — a)2 ~f- (Ьп — bf, где а и b являются пределами последовательностей {ап} и {Ьп} и z = a-\-ib.
Последовательность {zn{ называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что для всех элементов Zn этой последовательности имеет место неравенство | Zn | < M. Основное свойство ограниченной последовательности характеризует следующая теорема.
*) Определение последовательности не исключает возможности повторяющихся элементов, и, в частности, все элементы последовательности могут совпадать между собой.
§ 2] предел последовательности комплексных чисел
19
Теорема 1.2. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Поскольку последовательность {zn\ ограничена, то ясно, что соответствующие ей действительные последовательности {ап} и [Ьп) также ограничены. Рассмотрим последовательность {ап}. Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность *) |ал.|, предел которой обозначим а. Последовательности ja„.j соответствует последовательность {Ьп.}, также являющаяся ограниченной. Поэтому из нее можно в свою очередь выделить сходящуюся подпоследовательность {Ьп/}> предел которой обозначим Ь. При этом соответствующая последовательность {йлд,} по-прежнему сходится к а. Отсюда следует, что последовательность комплексных чисел {Znk} — {ank + ibnk} также является сходящейся, причем lim Zn = z = a-\-ib, что и доказывает
