Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Один из основных классов функций комплексной переменной — аналитические функции — находится в тесной связи с решениями уравнения Лапласа, к которому приводятся многие задачи механики и физики. Поэтому методы теории функций комплексной переменной нашли весьма широкое и эффективное применение при решении большого круга задач гидро- и аэродинамики, теории упругости, электродинамики и других естественных наук.
ГЛАВА 1
КОМПЛЕКСНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Комплексное число и действия над комплексными числами
1. Понятие комплексного числа. Мы считаем, что с понятием комплексного числа и определением арифметических действий над комплексными числами читатель уже знаком. Комплексные числа и действия над ними изложены в предыдущих выпусках курса *). Однако из соображений цельности изложения имеет смысл еще раз напомнить основные понятия.
Комплексным числом z называется пара действительных чисел (а, Ь) с установленным порядком следования чисел а и Ъ. Это условно записывается в виде Z = (а, Ь). Первое число а пары (а, Ь) называется действительной частью комплексного числа z и обозначается символом a = Re z; второе число Ъ пары (а, Ь) называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается символом b = \m z.
Два комплексных числа Zx = (аь ^1) и 2-2 = (?, Ь2) равны тогда и только тогда, когда равны и их действительные и их мнимые части, т. е. Z1 = Z2 лишь при U1 = а2, b1 = Ъ2.
2. Действия над комплексными числами. Перейдем к определению алгебраических операций над комплексными числами.
Суммой комплексных чисел Z1 = (аъ Ъх) и Z2 = (а2, Ь2) называется комплексное число Z = (а, Ь), где а = ах-{-а2, b = b1-{-b2. Легко видеть, что при таком определении сохраняются перемести-тельный и сочетательный законы сложения, т. е. Z1 -f- Z2 = Z2 -j- Z1 и Z1 -j- (z2 -j- Z3) = (^1 -j- Z2) -j- Z3. Так же, как и в области действительных чисел, нулем называется такое комплексное число 0, сумма которого с любым комплексным числом z равна этому числу z, т. е. z-\-0 = z. Очевидно, что существует единственное комплексное число 0 = (0, 0), обладающее этим свойством.
*) См. вып. 1, стр. 195—199.
комплексное число
13
Произведением комплексных чисел Z1 — (аъ O1) и Z2 = (а2, Ь2) называется комплексное число z = (a, Ь) такое, что а = аха2— Ьф2, I) = Ct1O2 -\- a2bv При таком определении произведения выполняются переместительный: Z1Z2 = Z2Z1, сочетательный: Z1 (г2 ¦ Z3) = (Z1 ¦ Z2)Z3 и распределительный: (Z1 + z2)z3 = Z1Z3 -f- Z2Z3 законы.
Включим действительные числа в множество комплексных чисел, рассматривая действительное число а как комплексное число а = = (а, 0). Тогда, как следует из определения действий сложения и умножения, для комплексных чисел сохраняются известные правила действий над действительными числами. Поэтому множество комплексных чисел рассматривается как расширение множества действительных чисел *). Заметим, что умножение на действительную единицу (1, 0) не меняет комплексного числа: z-l = z.
Комплексное число вида z = (0, b) называется чисто мнимым и символически обозначается z = ib. Чисто мнимое число (0, b) = ib можно рассматривать как произведение мнимой единицы (0, 1) и действительного числа (Ь, 0). Мнимую единицу обычно обозначают символом (0, 1) = /. В силу определения произведения комплексных чисел справедливо соотношение і-і —і2 = —1. Оно позволяет придать прямой алгебраический смысл так называемой алгебраической форме записи комплексного числа
Z = (a, b) = a + ib (1.1)
и производить операции сложения и умножения комплексных чисел по обычным правилам алгебры многочленов.
Комплексное число Z= a — Ib называется комплексно сопряженным числу z = a-\-ib.
Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число z = a-\-ib называется разностью комплексных чисел Z1 = %-f-Ib1 и Z2 = а2-\-ib2, если a = O1 — а.2, b = b1 — b2.
Операция деления комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению. Комплексное число z = a-\-ib называется частным комплексных чисел Z1 = U1-]- W1 и Z2 = а2 -f- Ib2 Ф 0, если Z1 = Z- Z2. Отсюда следует, что действительная а и мнимая b части частного.? определяются из линейной системы алгебраических уравнений
а2а— b2b = аь
b2a -j- a2b = b1
с определителем а\ -f- Ь\, отличным от нуля. Решив эту систему, получим
z = 4 = QxQ2+ ^A і t V2 — а А п 2) _ Z2 аЦ-^а a'i + b'l ' \ • )
*) Как будет следовать из дальнейших рассмотрений, множество комплексных чисел, в отличие от множества действительных чисел, не обладает свойством упорядоченности, так как не существует рациональной системы сравнения комплексных чисел.
14
функции комплексной переменной
[гл. 1
3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. При
изучении свойств комплексных чисел весьма удобной является их геометрическая интерпретация. Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то естественной геометрической интерпретацией является изображение комплексного числа z = a-{-lb точкой плоскости (х, у) с декартовыми координатами X = а иу = Ь. Число Z = O ставится в соответствие началу координат данной плоскости. Такую плоскость мы в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс — действительной, а ось ординат — мнимой осью комплексной плоскости. При этом, очевидно, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех комплексных чисел и множеством точек комплексной плоскости, а также между множеством всех комплексных чисел z = a-\-tb и множеством свободных векторов, проекции х и у которых на оси абсцисс и ординат соответственно равны а и Ь.
