Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
со
f(z) = (z -a) Z1 (Z), где Л (Z) = 2 Cn+1 (z - а)".
It=O
Будем предполагать, что все точки последовательности \zn) отличны от а. Это не уменьшает общности наших рассмотрений, так как только одна из этих точек могла быть равна а. В силу последнего условия Л (z„) = 0, и по определению непрерывной функции Zi (а) = 0. Отсюда C1 = 0, и разложение Zi (г) в окрестности а принимает вид
со
/i(z) = (z — a)f2(z), где A(z)= cn+i(z — а)п. Аналогично преды-
п = й
76
ряды аналитических функций
[гл. 2
душену получим, чго и /2(а) = 0, т. е. C2 = 0. Продолжая неограниченно данный пронесе, получим, что все коэффициенты Cn в разложении /(z) в степенной ряд
со
/(*)= с„Сг-а)"
в окрестности точки а равны нулю. Отсюда следует, что f{z) = 0 внутри круга I z — а [ <С R0.
Обратимся теперь к доказательству *) тождественного равенства функции f(z) нулю во всей области S. Достаточно показать, что /(Z1) = !), где zY — произвольная точка области S1 лежащая вне круга \z — а \ < Rn. Для этого соединим точки а и Z1 спрямляемой кривой L, целиком лежащей в S и отстоящей от ее границы на расстояние d>0. Поскольку любую точку круга j z — а I ¦< R0, лежащую внутри области S, можно рассматривать как предел последовательности нулей функции /(z), то, выбрав в качестве нового центра разложения последнюю точку z = U1 пересечения кривой L с окружностью, jz —a I = R1,, получим, что f(z) = 0 внутри круга Jz-а1|</?1, где R1^d. Продолжая аналогичным образом, покроем всю кривую L конечным числом кругов, радиусов, не меньших d, внутри которых f(z) = 0. При этом точка Z = Z1 попадает внутрь последнего круга, тем самым / (Z1) = 0. Поскольку Z1 — произвольная точка области S, отсюда следует, что /(z) = 0 в S.
Доказанная теорема имеет ряд важных следствий.
Следствие 1. Функция /(z)=?0 и аналитическая в области S, в любой замкнутой ограниченной подобласти S' области S имеет лишь конечное число нулей.
Если множество нулей функции /(z) в области S' бесконечно, то по теореме 1.2 из него можно выделить сходящуюся последовательность [zn\ а, причем предел а этой последовательности принадлежит S'. Отсюда f(z) = 0 в S, что противоречит условию.
Следствие 2. Если точка Z0 е S является нулем бесконечного
I оо
порядка**) функции /(z) [т. е. в разложении /(z)= ^P1 cn(z — zu)n
\ п = 0
в окрестности точки Z0 все коэффициенты Cn = то /(z) S= О в области S.
Следствие 3. Аналитическая функция может иметь бесконечное число нулей лишь в открытой или неограниченной области.
*) Это доказательство проводится аналогично доказательству на стр. 51. **) Очевидно, при этом и сама функция f (г) и все ее производные в точке г0 равны нулю.
единственность определения аналитической функции
77
Функция комплексной переменной, аналитическая на всей комплексной плоскости (z Ф со), называется целой функцией. Из предыдущих рассмотрений следует, что целая функция в любой ограниченной части комплексной плоскости имеет лишь конечное число нулей. Следовательно, все нули целой функции можно перенумеровать в каком-либо порядке, например в порядке возрастания их абсолютных величин. На полной плоскости целая функция может иметь лишь счетное множество нулей, причем предельной точкой этого множества является бесконечно удаленная точка комплексной плоскости. Целые функции играют важную роль как в теории функций комплексной переменной, так и в ее приложениях.
Теорема 2.8. Пусть функции /(г) и q>(z) являются аналитическими в области 5. Если в 3 существует сходящаяся к некоторой точке а <= & последовательность различных точек { Zn }, в которых значения функций f(z) и ц>(г) совпадают, то /(г) = = ф (z) в $.
Для доказательства теоремы достаточно с помощью теоремы 2.7 установить, что функция ty(z)=f(z)— ф(г)=нО в S*.
Теорема 2.8 имеет чрезвычайно большое значение, поскольку она означает, что в данной области 5 может существовать лишь единственная аналитическая функция, принимающая заданные значения в последовательности точек { Zn}, сходящейся к точке oe^. Эту теорему называют теоремой единственности определения аналитической функции.
Часто применяются следующие следствия теоремы единственности.
Следствие 1. Если функции Z1 (z) и /2 (z), аналитические в области 3, совпадают на некоторой кривой L, принадлежащей данной области, то они тождественно равны в области 3>.
Следствие 2. Если функции Z1(Z) и f2(z), аналитические соответственно в областях S1 и &ъ имеющих общую подобласть 9, совпадают в 5, то существует единственная аналитическая функция F'(z) такая, что
Теореме единственности и ее следствиям можно придать также следующие формы.
1° Пусть в области 5 выбрана сходящаяся к точке а є S последовательность различных точек Zn с= 5. Тогда в этой области может существовать лишь единственная аналитическая функция f(z), принимающая в точках Zn заданные значения.
2° Пусть в области Э дана некоторая кривая L. Тогда в 3 может существовать лишь единственная аналитическая функция f(z), принимающая заданные значения на L.
78
ряды аналитических функций
(гл. 2
3° Пусть в области S- дана некоторая подобласть У. Тогда в области & может существовать лишь единственная аналитическая функция f(z), принимающая заданные значения в подобласти 5'.
